Магнитогорский государственный технический университет

Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Подготовил: Григоренко М.В.

Студент группы ФГК-98

Магнитогорск –1999

Ведение

Для решения были предложены следующие уравнения: x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx

При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция
(((x) = x3 – 4x – 2 и ((x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.

Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (–( ; ().

Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью
(0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму:

1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции ((x1) и ((x2) разных знаков. Так как функция ((x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2.

2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ((x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;((x1)) и B(x2; ((x2)), в каноническом виде:

[pic];

Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:

[pic]

3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ((а1). Если на данном отрезке мы имеем ((x1)0 и ((a1)0,

((x2)0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1].

Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д.

Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0

((x) = x3 – 4x – 2,

(((x) = 3x2 – 4, производная меняет знак в точках [pic]

(((x) + – +