Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0.

Мы знаем, что f(an)0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов N, не превышающее log2[(b-a)/e]: N>log2[(b-a)/e].

3. Метод итераций

Этот метод называется ещё методом последовательных приближений.

Пусть нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на некотором отрезке [a, b].  

Предположим, что уравнение (1.0) можно переписать в виде:  

x=j(x) (1.3)

Возьмём произвольное значение x0 из области определения функции j(x) и будет строить последовательность чисел {xn}, определённых с помощью рекуррентной формулы:

xn +1=j(xn), n=0, 1, 2, … (2.3)

Последовательность {xn} называется итерационной последовательностью. При её изучении встают два вопроса:

Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?

Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа xn при n®¥ 

Исследование этих вопросов показывает, что при определённых ограничениях на функцию j(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3).

, c=j(c) (3.3)

Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести новое понятие.

Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная a, что для любых x1, x2, принадлежащих отрезку [a, b] имеет место неравенство:

| f(x1) - f(x2)| £ a|x1 - x2| (4.3)

Величину a в этом случае называют постоянной Липшица.

Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке:

Df=f(x0+Dx) – f(x0)

и оценим его с помощью неравенства (4.3)

|Df | £ a|Dx|

Таким образом, , что означает непрерывность функции f(x).

Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки:

y=f(x1) + k(x-x1)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты бесплатно скачать, изложения по русскому языку 9.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата