Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата




На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0 f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).

Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.

Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.

Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").

Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

6.4.Точка перегиба графика функции.

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1 |

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).

Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).

Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0), то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic] |
|Рисунок 2. |

В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).

Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале
(a, b): f ''(x)?0.
|[pic] |
|Рисунок 3. |

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.

Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.

Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

[pic] (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение
(1), получим:[pic] (3)

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата