Применение тройных и кратных интегралов

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: объект реферата, сочинения 4
| Добавил(а) на сайт: Ювеналий.

[pic]
Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции [pic] по пространственной области [pic].
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

[pic] где [pic] - произвольная непрерывная в области [pic]функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы.
Заметим только, что если подынтегральная функция [pic] тождественно равна
1, то тройной интеграл выражает объем V области [pic]:

[pic]
Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1. Если функция [pic] во всех точках области интегрирования [pic] удовлетворяет неравенствам

[pic] то

[pic] где V - объем области [pic].
VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

[pic]

II. Вычисление тройных интегралов.

Вычисление тройного интеграла [pic] может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.

1. Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл от функции [pic]

[pic] причем область [pic] отнесена к системе декартовых координат Oxyz,
Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования
[pic]
В соответствии с этим будем писать

[pic]
Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования [pic] имеет вид, изображенный на рис. 1).
Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области [pic] вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет [pic], уравнением верхней
[pic].
Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области [pic] на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области [pic].
Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция [pic] интегрируется по заключенному в [pic] отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D
(на рис. 1 отрезок [pic] ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от [pic] - аппликаты точки «входа» ([pic]) прямой в область [pic], до [pic] - аппликаты точки «выхода» ([pic] ) прямой из области [pic].
Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки
Р (х, у); обозначим ее через F(х, у):

[pic]
При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.
Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл

[pic]
Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

[pic]
Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

[pic] (*) где [pic]и [pic] - ординаты точек «входа» в область D и «выхода» из нее прямой [pic] (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.
Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области [pic] производится, посредством трех последовательных интегрировании.
Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно
[pic] и [pic] (рис. 2).

[pic]

Рис.2
Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

[pic]
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости
Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

Рис.3 Рис.4
[pic]

А) Пример.

Вычислим тройной интеграл

[pic] где [pic]- область, ограниченная координатными плоскостями

[pic] и плоскостью [pic] (пирамида, изображённая на рис.4).
Интегрирование по z совершается от z=0 до [pic] Поэтому, обозначая проекцию области [pic] на плоскость Oxy через D, получим

[pic]
Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого [pic]