Применение тройных и кратных интегралов

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: объект реферата, сочинения 4
| Добавил(а) на сайт: Ювеналий.

[pic]

2. Цилиндрические координаты.

Отнесём область [pic] к системе цилиндрических координат [pic], в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами [pic] ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:
[pic] (*)

[pic]

Рис.5
Разобьем область [pic] на частичные области [pic] тремя системами координатных поверхностей: [pic] которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху.
Частичными областями [pic] служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

[pic]
Преобразование тройного интеграла [pic] к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции [pic] переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным
[pic]
Получим

[pic]
Если, в частности, [pic] то интеграл выражает объём V области [pic]

[pic]

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по [pic] и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В частности, если областью интегрирования служит внутренность цилиндра [pic] то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

[pic]

3. Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования [pic] к системе сферических координат [pic]. В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом [pic] между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом [pic] между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6).
При этом [pic] может изменятся то 0 до[pic] а [pic] - от 0 до [pic].

[pic]

Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

[pic]
Отсюда

[pic] (**)
Разобьем область [pic] на частичные области [pic], тремя системами координатных поверхностей: [pic] которыми будут
[pic]

соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями [pic] служат
«шестигранники» (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: [pic] по направлению полярного радиуса, [pic] по направлению меридиана, [pic] по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение

[pic]
Заменив в тройном интеграле [pic] по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

[pic]
Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование [pic] - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо.
Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара [pic], а внешнего [pic], пределы интегрирования следует расставить так:

[pic]
Если [pic] - шар, то нужно положить [pic]

A) Пример.

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

[pic]

Применение тройных интегралов.

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно [pic] Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат [pic] центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией [pic] занимающего область [pic]: