Claw.ru | Рефераты по математике | Различные подходы к определению проективной плоскости Различные подходы к определению проективной плоскости | Категория реферата: Рефераты по математике | Теги реферата: цивилизация реферат, человек реферат | Добавил(а) на сайт: Karantirov. Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата 3)$ три () не лежащие на одной прямой 4) на каждой прямой лежит не менее трех точек

1)Через две прямые связки проходит единственная плоскость связки 2)" две плоскости связки пересекаются по прямой связки 3)$ три прямые связки не лежащие в одной плоскости связки 4)Каждой плоскости связки принадлежит не менее трех прямых этой связки

2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость.

Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость p не проходящую через ()О и зададим отображение j плоскости p в связку с центром в ()О по закону: " ()А плоскости p ставится в соответствии прямая ОА.

j - биективно? т.е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз? Ответ: нет. Прямые связки параллельные p не имеют прообразов и такие прямые называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат в плоскости связки, которая параллельна p . Такую плоскость назовем особой плоскостью. Для того, чтобы отображение j сделать биективным и получить новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскость p "несобственными элементами".

Рассмотрим особую прямую связки m, m / / p , и проведем через эту прямую не особую плоскость a , a (m)Ç p =a, a/ / m.

" прямая (не особая прямая) связки Î a имеет свой прообраз на прямой a.

Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М ¥ , которая Î a.

Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость b b (m)Ç p =b, a / / b / / m, так как каждая не особая прямая b имеет прообраз на прямую b, то прообраз особой прямой m не собственная ()М¥ Î b. Если рассмотрим другую особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную ()N¥ .

Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости p своим прообразом прямую пересечения этой плоскости с плоскостью p .a -a,b -b. Поставим в соответствие особой плоскости несобственную прямую l¥ , тогда так как все особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Определение: Расширенной евклидовой плоскостью p называется евклидова плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Отображение j : p ® связку стало биективным, так как связка прямых является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость p является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых выполняют собственные прямые плоскости p и несобственная прямая.

Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной модели.