Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Основные понятия

Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо
“значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться
“значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.

Пусть ( — некоторое положительное число. (-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 -
(, x0 + (), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x (-окрестности точки [pic] можно выразить с помощью двойного неравенства

0 < (x – x0( < (.

Число ( называется радиусом окрестности.

§2. Предел и непрерывность функции

Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно
[pic] выбрать какое-либо положительное число ( и построить (-окрестность точки y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус () , что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в (- окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа (. Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

Рассмотрим функцию [pic]. Эта функция не определена в точке x0 = 2.
При x0 ( 2 её можно преобразовать:

[pic].

[pic]
График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число (, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от (), то соответствующие значения y попадут в (-окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число (.

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в
(-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < (x – x0( < (, выполняется условие

(y – A( < (.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой
[pic]

[pic].

Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.
Рассмотрим функцию [pic]. Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: [pic].

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 2. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 0.