Сборник Лекций по матану

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат по бжд, новшество
| Добавил(а) на сайт: Arsen'ev.

[pic]Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. [pic], если C — постоянная функция.

3. Если существует[pic] и C — постоянная функция, то

[pic].

4. Если существуют[pic] и [pic], то существует [pic], равный [pic], а также существует [pic], равный [pic]. Если при этом [pic], то существует[pic], равный [pic].

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число (, такое что из из условия 0 < x – a < ( будет следовать (B –f(x) ( < (.

Согласно приведенному определению [pic]. Отметим, что обыкновенного предела функция [pic] в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет следовать (C – f(x)( < (.

Очевидно, что функция [pic] (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

[pic]; [pic].

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

[pic] ([pic]).

Функция [pic] непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство [pic], необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

[pic]; [pic]

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0; (). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

[pic],

если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число M (зависящее от (), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

(f(x) – A( < (.

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке