Счётные множества

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: конспект 5 класс, правильный реферат
| Добавил(а) на сайт: Aristov.

[pic] -[pic][pic]-[pic] [pic]. . .

[pic]
-[pic][pic]-[pic] [pic]. . .

. . . . . . . . . . .

[pic] -[pic]. . . . . . .
.

. . . . . . . . . . . .
Перенумеровав элементы таблицы тем же способом, что и выше, мы получили, что множество всех рациональных чисел является счётным множество.
III. Сформулируем и докажем несколько теорем характеризующих счетные множества.

- 3 -

Теорема 3. Из всякого бесконечного множества Х можно выделить счетное множество Y.
Доказательство: Пусть множество Х бесконечное множество. Выделим из множества Х произвольный элемент и обозначим его х1. Так множество Х бесконечно, то оно не исчерпывается выделение этого элемента х1. и мы можем выделить элемент х2 из оставшегося множества Х{ х1}. По тем же соображениям множество Х{ х1, х2} не пусто, и мы можем и из него выделить элемент х3. Ввиду бесконечности множества Х мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в результате чего получим последовательность выделенных элементов х1, х2, х3, . . . , хn, . . . , которая и образует искомое подмножество Y множества Х.
Данная теорема может натолкнуть на интересный вопрос. А в свою очередь можно ли из счётного множества выделить бесконечное подмножество, которое было так же счётным? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество счётного множества так же является счётным множеством.
Доказательство: Пусть множество Х счётное множество, а множество Y его бесконечное подмножество. Следовательно, множество Х может быть представлено в виде

Х={а1, а2, а3, . . . , аn,. . .}.
Будем перебирать один за другим элементы множество Х в порядке их номеров, при этом мы время от времени будем встречать элементы множества
Y, и каждый из элементов множества Y рано или поздно встретится нам.
Соотнося каждому элементу множества Y номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество Y, причём в силу бесконечности его, нам придется на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа. Следовательно, множество Y является счётным множеством.

Приведем пример непосредственно относящийся к этой теореме.
Пример: Множество Х={1, [pic],[pic]} как известно, является счётным множеством, а так как множество Y={[pic],[pic]} является подмножеством множества Х, то по доказанной выше теоремы 3, множество Y так же является счётным.
Из выше изложенной теоремы вытекает следующие следствие.
Следствие: Если из счётного множества Х удалить конечное подмножество Y, то оставшееся множество ХY будет счётным множеством.

IV. Теорема 5. Объединение конечного множества и счётного множества без общих элементов есть счётное множество.
Доказательство: Пусть дано

А={а1, а2, . . . , аn} и В={b1, b2, b3, . . . },

причем А(В = О.[pic]
Если множество С=А(В, то С можно представить в форме

С={а1, а2, . . . , аn, b1, b2, b3, . . . }, после чего становиться очевидной возможность перенумеровать множество, следовательно по теореме 1 получаем, что множество С счетно.

- 4 -

Теорема 6. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество.
Доказательство: Проведем доказательство для случая объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения.
Пусть А, В, С три счётных множества:

А={а1, а2, а3, . . .}, В={b1, b2, b3, . . . } и

С={с1, с2, с3, . . .}.
Тогда множество D = А(В(С можно представить в форме последовательности:

D={а1, b1, c1, а2, b2, c2, а3, . . .}, и счётность множества D очевидна.

Теорема 7. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.
Доказательство: Пусть Аk (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств:

А1={[pic] . . . , [pic]};

А2={[pic]. . . , [pic]};

А3={[pic] . . . ,[pic]};

. . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтобы расположить объединение их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А1, а затем элементы множества А2 и так далее.