Счётные множества

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: конспект 5 класс, правильный реферат
| Добавил(а) на сайт: Aristov.

Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество.
Доказательство: Пусть множества Аk (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом:

А1={[pic] . . . };

А2={[pic]. . . };

А3={[pic] . . . };

. . . . . . . . . . . .
Если мы выпишем элемент [pic], затем оба элемента [pic] и [pic] у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С=[pic] окажется представленной в форме последовательности:

С = {[pic][pic][pic] . . . },
Откуда и следует счётность множества С.
Замечание: Условие отсутствия общих элементов в теоремах 5-8 могло быть опущено.

- 5 -

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего.

Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида [pic] с данным знаменателем q, то есть множество [pic]. . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . . . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида [pic] является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности множества всех положительных рациональных чисел R+. Так как множество R- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R+, то счетным является и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R+[pic]R-
[pic]{0}.
Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.
Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством.
Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества.
Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством.
Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.
Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m.
Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).
По этому обозначая через Рk множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Рk, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.

Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.
Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.
Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества Sm всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество Sm+1 всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно.
В самом деле, пусть

D={d1, d2, . . . , dk, . . .}.
Каждой последовательности S(m +1)=(di[pic], . . , di[pic], dk)( Sm+1 соответствует пара (S(m), dk), где S(m)= (di[pic], . . , di[pic])( Sm, причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество Sm всех S(m) счётно, и может быть записано в виде S[pic], . . .
, S[pic], . . . , то счётно и множество всех пар (S[pic], dk) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S(m +1).
Так как каждое Sm счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему.
В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:

- 6 -

Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений
А={a[pic],[pic], . . . ,[pic]} (xk=x[pic], x[pic], . . . ; k=1, 2, 3, .

. . ,n), то множество А счётно.
Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.
Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.
Итак пусть А={a[pic],[pic], . . . ,[pic], [pic]}.
Обозначим через Ai множество тех элементов А, для которых [pic] , где
[pic] одно из возможных значений (m+1)-го значка, т. е. положим Ai
=={a[pic],[pic], . . . ,[pic], [pic] }.
В силу сделанного допущения множество Ai счётно, а так как А=[pic], то счётно и множество А.
Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:
1) Множество точек (x, y) плоскости, у которых обе координаты рациональны, счётно.
Но более интересным является следующий факт:
2) Множество многочленов [pic]с целыми коэффициентами счётно.
В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11, если только рассматривать многочлены фиксированной степени n, и для завершения доказательства следует применить теорему 8.

- 7 -

--------------------
7

4

2
??††?†????††?††??????????????
1. . . . . . . . . .

3

5

8

6

9

10