Синтез оптимальных уравнений

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: определение реферат, сочинение бульба
| Добавил(а) на сайт: Иноземцев.

B(x, u)?1 для всех точек x?x1 и u; (1.15)

B(x, u)?1 для любого оптимального процесса (u(t), x(t)).
(1.16)

Итак, справедлива следующая

Т е о р е м а 1.1. Если для управляемого объекта, описываемого уравнением (1.5) и предписанного конечного состояния x1 выполнены гипотезы
1 и 2, то имеют место соотношения (1.15) и (1.16) (оптимальность понимается в смысле быстродействия).

Эта теорема и составляет сущность метода динамического программирования для рассматриваемой задачи. Эту теорему можно сформулировать и несколько иначе. Написав соотношение (1.16)

Для t=t0, получим B(x0, u(t0))=1, т. е. для любой точки x0 (отличной от x1) найдётся в U такая точка u (а именно u=u(t0)), что B(x0, u)=1. В сопоставлении с неравенством (1.15) получаем соотношение

[pic] для любой точки x?x1. (1.16*)

Метод динамического программирования (1.15), (1.16) (или, что то же самое, (1.16*), (1.16)) содержит некоторую информацию об оптимальных процессах и потому может быть использован для их разыскания. Однако он имеет ряд неудобств. Во-первых, применение этого метода требует нахождения не только оптимальных управлений, но и функции ?(x), так как эта функция входит в соотношения (1.15) - (1.16*). Во-вторых, уравнение Беллмана
(1.16*) (или соотношения (1.15), (1.16)) представляет собой уравнение в частных производных относительно функции ?, осложнённое к тому же знаком максимума. Указанные обстоятельства сильно затрудняют возможность пользования методом динамического программирования для отыскания оптимальных процессов в конкретных примерах. Но самым главным недостатком этого метода является предположение о выполнении гипотез 1 и 2. Ведь оптимальные управления и функция ? нам заранее не известны, так что гипотезы 1 и 2 содержат предположение о неизвестной функции, и проверить выполнение этих гипотез по уравнениям движения объекта невозможно. Этот недостаток можно было бы считать не особенно существенным, если бы после решения оптимальной задачи этим методом оказалось, что функция ?(x) действительно является непрерывно дифференцируемой. Но дело заключается в том, что даже в простейших, линейных задачах оптимального управления функция ?(x) не является, как правило, всюду дифференцируемой. Тем не менее, методом динамического программирования можно нередко пользоваться как ценным эвристическим средством.

6. Принцип максимума. Продолжим теперь рассуждения предыдущего пункта, предположив функцию ?(x) уже дважды непрерывно дифференцируемой

(всюду, кроме точки x1). Итак, будем предполагать, что выполнена следующая

Г и п о т е з а 3. функция ?(x) имеет при x?x1 вторые непрерывные производные [pic] i, j=1,2,…,n, а функции fi(x, u) - первые непрерывные производные [pic] где i, j=1,2,…,n.

Пусть (u(t), x(t)), t0?t?t1, - оптимальный процесс, переводящий объект
(1.2) (или (1.3)) из фазового состояния x0 в состояние x1. Фиксируем некоторый момент времени t, t0?t?t1, и рассмотрим функцию B(x, u(t))=[pic] переменного x. В силу гипотезы 3 вытекает, что функция B(x, u(t)) всюду, кроме точки x1, имеет непрерывные производные по переменным x1,x2,…,xn:

[pic] (1.17)
В частности, так как x(t)?x1 (поскольку t