Собственные значения
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: дипломная работа скачать бесплатно, сочинения по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Якуб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.
2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯВ общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
AX = l X,
где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления1. Матрица A называется симметричной, если аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно диагонали аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица
|
1 |
4 |
5 |
|
4 |
3 |
7 |
|
5 |
7 |
2 |
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
|
* |
* |
0 |
||||||
|
* |
* |
* |
||||||
|
* |
* |
* |
||||||
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|||
|
* |
* |
* |
||||||
|
Категории:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладки |
|
Главная