Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата



?(aqbwcedr)= ?(aq)?(bw)?(ce)?(dr)

Например ?(360), 360 = 23*32*5 => ?(23) ?(32) ?(5)=15*13*6=1170.

Чтобы показать последовательность сумм делителей приведём таблицу:

|n |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |
|0 |- |1 |3 |4 |7 |6 |12 |8 |15 |13 |
|10 |18 |12 |28 |14 |24 |24 |31 |18 |39 |20 |
|20 |42 |32 |36 |24 |60 |31 |42 |40 |56 |30 |
|30 |72 |32 |63 |48 |54 |48 |91 |38 |60 |56 |
|40 |90 |42 |96 |44 |84 |78 |72 |48 |124 |57 |
|50 |93 |72 |98 |54 |120 |72 |120 |80 |90 |60 |
|60 |168 |62 |96 |104 |127 |84 |144 |68 |126 |96 |
|70 |144 |72 |195 |74 |114 |424 |140 |96 |168 |80 |
|80 |186 |121 |126 |84 |224 |108 |132 |120 |180 |90 |
|90 |234 |112 |168 |128 |144 |120 |252 |98 |171 |156 |

Если ?(n) обозначает член любой этой последовательности, а ?(n - 1),
?(n - 2), ?(n - 3)… предшествующие члены, то ?(n) всегда можно получить по нескольким предыдущим членам:

?(n) = ?(n - 1) + ?(n - 2) - ?(n - 5) - ?(n - 7) + ?(n - 12) + ?(n -
15) - ?(n - 22) - ?(n – 26) + … (**)

Знаки «+» «-» в правой части формулы попарно чередуются. Закон чисел
1, 2, 5, 7, 12, 15…,которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n, станет ясен если мы возьмем их разности:

Числа:1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100…
Разности: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8…

В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7… и нечетные 3, 5, 7,9 11…

Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать только те члены, для которых числа стоящие под знаком ?, еще положительны, и опускать ? для отрицательных чисел. Если в нашей формуле встретиться ?(0), то, поскольку его значение само по себе является неопределённым, мы должны подставить вместо ?(0) рассматриваемое число n.
Примеры:

?(1) = ?(0) =1

= 1
?(2) = ?(1) + ?(0) = 1 + 2

= 3
…
?(20) = ?(19)+?(18)-?(15)-?(13)+9?(8)+?(5)=20+39-24-14+15+6= 42

Доказательство теоремы (**) я приводить не буду.

Вообще, найти сумму всех делителей числа можно с помощью канонического разложения натурального числа (это уже было сказано выше). Сумму делителей числа n обозначают ?(n). Легко найти ?(n) для небольших натуральных чисел, например ?(12) = 1+2+3+4+6+12=28(это было приведено выше). Но при достаточно больших числах отыскивание всех делителей, а тем более их суммы становится затруднительным. Совсем другое дело, если уже известно, что каноническое разложение числа n таково:[pic].
Его делителями являются все числа [pic], для которых 0 ? ?s ? ?s, s = 1, …, k. Ясно, что ?(n) представляет собой сумму всех таких чисел при различных значениях показателей
?1, ?2, … ?k. Этот результат мы получим раскрыв скобки в произведении

[pic]
По формуле конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к равенству

[pic] (*)

По этой формуле ?(360) = [pic] .

Формулу для вычисления значения функции ?(n) вывел замечательный английский математик Джон Валлис(1616 - 1703) – один из основателей и первых членов
Лондонского Королевства общества (Академии наук). Он был первым из английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему принадлежат многие обозначения и термины, применяемые сейчас в математике, в частности знак ? для обозначения бесконечности. Валлис вывел удивительную формулу, представляющую число ? в виде бесконечного произведения:

[pic]

Д. Валлис много занимался комбинаторикой и её приложениями к теории шифров, не без основания считая себя родоначальником новой науки – криптологии (от греч. «криптос» - тайный, «логос» - наука, учение). Он был одним из лучших шифровальщиков своего времени и по поручению министра полиции Терло занимался в республиканском правительстве Кромвеля расшифровкой посланий монархических заговорщиков.

С функцией ?(n) связан ряд любопытных задач. Например:

1.) Найти пару целых чисел, удовлетворяющих условию: ?(m1)=m2,
?(m2)=m1.

Некоторые из них не удаётся решить даже с использованием формулы (*).
Так, например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых ?(n) есть квадрат некоторого натурального числа. Такими числами являются 22, 66,
70, 81, 343, 1501, 4479865. Вот ещё две задачи, приведённые в 1657 г.
Пьером Ферма:
1. найти такое m, для которого ?(m3) – квадрат натурального числа (Ферма нашёл не одно решение этой задачи);
2. найти такое m, для которого ?(m2) – куб натурального числа.
Например, одним из решений первой задачи является m = 7, а для второй m =
43098.
С помощью программы Derive, я попробовал найти ещё решения и у меня этого не получилось. (я рассматривал ?(m3) = n2, где m принимает значения от 1 до 1000, а n от 1 до 5000 в 1.) и тоже самое в 2.) )

Формулы:
1. DELITELI(m) := SELECT(MOD(m, n) = 0, n, 1, m)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему биография, нормы реферата.

Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата