Теория графов

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение сказка, отчет по производственной практике
| Добавил(а) на сайт: Wegolev.

Определение 2.16. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов.

Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево, но уже плоское – на поверхности земли (рис.2.12).

(РИСУНОК 2.12)

Определение 2.17. Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Пример: на рисунке 2.13 изображен лес, состоящий из трех деревьев.

(РИСУНОК 2.13)

Определение 2.13. Дерево, все n вершин которого имеют номера от 1 до n, называют деревом с перенумерованными вершинами.

Итак, мы рассмотрели основные определения теории графов, без которых было бы невозможно доказательство теорем, а, следовательно и решение задач.
Формулировки и доказательства ключевых теорем будут приведены ниже, в этом же параграфе объяснены базовые понятия теории.

§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач.

Теорема 3.1. Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.

Доказательство. Пусть А1, А2, А3, ..., An — вершины данного графа, a p(A1), р(А2), ..., p(An) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это равносильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины).

Отсюда следует: p(A1)+р(А2)+ ... +p(An)=0,5N, или 2(p(A1)+р(А2)+ ...
+p(An))=N , где N — число ребер. (

Теорема 3.2. Число нечетных вершин любого графа четно.

Доказательство. Пусть a1, a2, a3, …, ak — это степени четных вершин графа, а b1, b2, b3, …, bm — степени нечетных вершин графа. Сумма a1+a2+a3+…+ak+b1+b2+b3+…+bm ровно в два раза превышает число ребер графа.
Сумма a1+a2+a3+…+ak четная (как сумма четных чисел), тогда сумма b1+b2+b3+…+bm должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать. (

Эта теорема имеет немало любопытных следствий.

Следствие 1. Нечетное число знакомых в любой компании всегда четно.

Следствие 2. Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

Следствие 3. Число всех людей, когда-либо пожавших руку другим людям, нечетное число раз, является четным.

Теорема 3.3. Во всяком графе с n вершинами, где n больше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с одинаковыми степенями.

Доказательство. Если граф имеет n вершин, то каждая из них может иметь степень 0, 1, 2, ..., (n-1). Предположим, что в некотором графе все его вершины имеют различную степень, то есть, и покажем, что этого быть не может. Действительно, если р(А)=0, то это значит, что А — изолированная вершина, и поэтому в графе не найдется вершины Х со степенью р(Х)=n-1. В самом деле, эта вершина должна быть соединена с (n-1) вершиной, в том числе и с А, но ведь А оказалась изолированной. Следовательно, в графе, имеющем n вершин, не могут быть одновременно вершины степени 0 и (n-1). Это значит, что из n вершин найдутся две, имеющие одинаковые степени. (

Теорема 3.4. Если в графе с n вершинами (n больше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.

Доказательство данной теоремы мы опускаем. Остановимся лишь на некотором ее пояснении. Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: группа, состоящая из n школьников, обменивается фотографиями. В некоторый момент времени выясняется, что двое совершили одинаковое число обменов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершивший его.

Теорема 3.5. Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.

Рисунок 3.1 поясняет условие теоремы. На изображенном графе все 5 простых циклов четные.