Теория графов

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение сказка, отчет по производственной практике
| Добавил(а) на сайт: Wegolev.

(РИСУНОК 3.1)

Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл (как простой, так и непростой) нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер.

Теорема 3.6. Для того, чтобы граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.

Теорема 3.7. Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечетными вершинами этого графа.

Доказательство этой теоремы очень интересно и характерно для теории графов. Его также следует считать конструктивным (обратите внимание на то, как •использована при этом теорема 3.6). Для доказательства к исходному графу присоединяем ребро (А, В); после этого все вершины графа станут четными. Этот новый граф удовлетворяет всем условиям теоремы 3.6, и поэтому в нем можно проложить эйлеров цикл ?. И если теперь в этом цикле удалить ребро (А, В), то останется искомая цепь АВ. (

На этом любопытном приеме основано доказательство следующей теоремы, которую следует считать обобщением теоремы 3.7.

Теорема 3.8. Если данный граф является связным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу.

Теорема 3.9. Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить nn-2.

По поводу доказательства этой теоремы сделаем одно замечание. Эта теорема известна, в основном, как вывод английского математика А. Кэли
(1821—1895). Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Сегодня двоичные деревья используются не только математиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами (подробнее об этом – в параграфе 6).

Теорема 3.10. Полный граф с пятью вершинами не является плоским.

Доказательство. Воспользуемся формулой Эйлера: В-Р+Г=2, где В — число вершин плоского графа, Р — число его ребер, Г — число граней. Формула
Эйлера справедлива для плоских связных графов, в которых ни один из многоугольников не лежит внутри другого. На рисунке 3.2, а изображен граф, к которому формула не применима — заштрихованный многоугольник находится внутри другого. Справа приведено изображение графа, к которому формула применима.

(РИСУНОК 3.2)

Эту формулу можно доказать методом математической индукции. Это доказательство мы опускаем. Заметим только, что формула справедлива и для пространственных многогранников. Пусть все пять вершин графа соединены друг с другом (рис. 3.2). Замечаем, что на графе нет ни одной грани, ограниченной только двумя ребрами. Если через ?1 обозначить число таких граней, то ?2=0. Далее рассуждаем от противного, а именно: предположим, что исследуемый граф плоский. Это значит, что для него верна формула Эйлера.
Число вершин в данном графе В=5, число ребер Р=10, тогда число граней Г=2-
В+Р=2-5+10=7.

Это число можно представить в виде суммы: Г=?1+?2+?3+…, где ?3 – число граней, ограниченных тремя ребрами, ?4 — число граней, ограниченных четырьмя ребрами и т. д.

С другой стороны, каждое ребро является границей двух граней, а поэтому число граней равно 2Р, в то же время 2Р=20=3?3+4?4+... . Умножив равенство Г=7=?3+ ?4 + ?5 + … на три, получим ЗГ=21=3( ?3 + ?4 + ?5 + …).

Ясно, что (3?3+3?4+3?5+…) < (3?3+4?4+ 5?5+…) или 3Г