Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

1, чтобы избежать 1 2 3

Такое раскрашивание даёт последовательность

1  2  3  4  5  6  7  8  9

Но в ней всё равно осталась красная арифметическая прогрессия 1, 5, 9. Таким образом, независимо от того, в одинаковый или в разные цвета окрашены 4 и 6, всегда имеется либо синяя, либо красная арифметическая прогрессия.

Ван дер Варден поставил перед собой следующую задачу, являющуюся обобщением предыдущей: доказать, что если n — достаточно большое число и все целые числа от 1 до n напечатаны на странице одним из двух произвольно выбираемых для каждой цифры цветов, то всегда существует одноцветная последовательность с определённым числом членов, являющаяся арифметической прогрессией. Это утверждение можно считать теоремой Рамсея для арифметических последовательностей, хотя оно общеизвестно под названием теоремы Ван дер Вардена.

Ван дер Варден призвал на помощь своих коллег Эмиля Артина и Отто Шрейера. Позднее он писал: «Мы пришли в кабинет Артина на факультет математики Гамбургского университета и попытались найти доказательство. Мы рисовали на доске какие-то рисунки. У нас было состояние, которое немцы называют Einfälle (озарение), когда в голову приходят неожиданные идеи. Несколько раз такие новые идеи направляли обсуждение в новое русло, и одна из них в конце концов привела к решению». Оказалось, однако, что Ван дер Варден не смог доказать этот результат для двух красок, не доказав его для случая, когда одновременно используется произвольное число красок.

В своём доказательстве Ван дер Варден применил особый вид математической индукции. Обычная (одинарная) индукция включает в себя два этапа. На первом этапе нужно показать, что утверждение выполняется для некоторого малого числа, скажем, для двух. На втором этапе доказывается, что если утверждение справедливо для какого-либо числа, то оно справедливо и для числа, на единицу большего. Отсюда следует, что оно верно для трёх, четырёх и так далее. Результаты «идут в руки» один за другим как бесконечная очередь падающих костяшек домино, поставленных на ребро: если столкнуть одну, то упадут все.

Чтобы доказать теорему Рамсея для арифметических прогрессий, Ван дер Варден применил более тонкую, двойную индукцию. Он предположил, что для любого фиксированного числа красок существует число n, такое, что если каждое целое число в интервале от одного до n напечатать какой-нибудь из этих красок, то найдётся арифметическая прогрессия чисел одного цвета, состоящая, скажем, из 10 членов. Опираясь на это допущение, он смог показать, что для любого фиксированного набора красок существует число m, такое, что если каждое целое число в интервале от 1 до m напечатать какой-нибудь из этих красок, то будет существовать одноцветная арифметическая прогрессия из 11 членов. В общем, он показал, что из результатов для k членов и любого количества красок вытекает результат для k+1 членов и любого количества красок.

После того как Ван дер Варден добрался до этой стадии доказательства, ему осталось только продемонстрировать, что его предположение действительно верно для некоторого малого значения k. Если целых чисел на единицу больше, чем красок, то всегда найдутся два числа одного цвета. Эти два числа образуют арифметическую прогрессию из двух членов. Поэтому одноцветная арифметическая прогрессия всегда существует, если чисел на единицу больше, чем красок. Бесконечная последовательность фишек домино для двух членов теперь сталкивает бесконечную последовательность домино для трёх членов, которая, в свою очередь, сталкивает бесконечную последовательность домино для четырёх членов, и так далее (см. следующую врезку).

Теория Рамсея и игра «крестики-нолики»

В 1926году Бартель Л. Ван дер Варден доказал, что если n — достаточно большое число и если все числа от 1 до n произвольным образом раскрасить каким-нибудь из двух цветов, то всегда найдётся одноцветная арифметическая прогрессия с определённым числом членов. В 1963году А.Хейлз и Р.Джуитт открыли то, что оказалось сутью теоремы Ван дер Вардена, изучая игру «крестики-нолики». Хотя классический вариант этой игры с игровым полем размером три на три может быстро наскучить, трёхмерный вариант с четырьмя полями в каждом ряду весьма интересен. «Доской» для трёхмерной игры служит куб, разбитый на 64 ячейки. Игроки по очереди заполняют ячейки крестиками или ноликами, пока один из них не выигрывает, заполнив четыре ячейки, расположенные на одной прямой. И двумерная, и трёхмерная игра порой кончается ничьей. А как обстоит дело в случае игр более высокой размерности? Можно ли гарантировать выигрыш в некотором n-мерном варианте крестиков и ноликов с k элементами на одной прямой?

Хейлз и Джуитт показали, что если размерность n достаточно велика, то всегда можно найти вариант игры с k элементами на одной прямой, который никогда не кончается ничьёй. Например, независимо от того, как расположены крестики и нолики в трёхмерной игре с тремя элементами в ряду, всегда либо три крестика будут расположены на одной прямой, либо три нолика.

Теорему Ван дер Вардена можно вывести из результата Хейлза и Джуитта, применив преобразование, переводящее прямые этой игры в арифметические прогрессии. Рассмотрим трёхмерную игру с тремя элементами в ряду.

Координаты крестиков в этой выигрышной комбинации суть 121, 222 и 323; рассматриваемые как числа, они образуют арифметическую прогрессию. Можно показать, что всякая выигрышная комбинация, преобразованная этим методом, даёт арифметическую прогрессию.

                   1           

1                                            

2   ×                                       

3                                            

     1            2            3           

                                 2              

1                                            

2                 ×                         

3                                            

     1            2            3           

                                 3              

1                                            

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: антикризисное управление предприятием, allbest.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата