Вопрос 1
События и явления. Все события и явления реального мира разделяются на закономерные (детерминированные) и случайные (вероятностные).
Случайным событием называется такое событие, изменить или предсказать которое в процессе случайного явления невозможно. Случайное событие - это результат (исход) конкретной единичной реализации случайного явления. Так, выпадение чисел 1-6 при бросании игральной кости - случайное явление.
Выпадение числа 6 в единичном испытании - случайное событие. Если оно может задаваться, то это уже не игральная кость, а инструмент шулера. Типовое обозначение случайных событий - крупными буквами алфавита (например, событие А - выпадение 1 при бросании кости, событие В - выпадение 2 и т.д.).
Классификация случайных событий. Событие называют достоверным (и обозначают индексом (), если оно однозначно и предсказуемо. Выпадение суммы чисел больше 1 и меньше 13 при бросании двух костей - достоверное событие.
Событие является невозможным (и обозначается индексом (), если в данном явлении оно полностью исключено. Сумма чисел, равная 1 или большая 12 при бросании двух костей - события невозможные. События равновозможны, если шансы на их появление равны. Появление чисел 1-6 для игральной кости равновозможно.
Два события называются совместными, если появление одного из них не влияет и не исключает появление другого. Совместные события могут реализоваться одновременно, как, например, появление какого-либо числа на одной кости ни коим образом не влияет на появление чисел на другой кости. События несовместны, если в одном явлении или при одном испытании они не могут реализоваться одновременно и появление одного из них исключает появление другого (попадание в цель и промах несовместны).
1. Вероятность любого случайного события А является неотрицательной величиной, значение которой заключено в интервале от 0 до 1. 0 ( Р(А) ( 1.
2. Вероятность достоверного события равна 1. Р(?) = 1.

В общем случае событие ? представляет собой сумму полной группы возможных элементарных событий данного случайного явления: ?=[pic]?i. Следовательно, вероятность реализации хотя бы одного случайного события из полной группы возможных событий также равна 1, т.е. является событием достоверным.
Сумма противоположных событий тоже составляет полную группу событий и соответственно вероятность суммы противоположных событий равна 1:P(A+[pic])
= 1.
Примером может служить бросание горсти монет. Орел или решка для каждой монеты – противоположные события. Сумма событий для горсти в целом равна 1 независимо от соотношения выпавших орлов и решек.
3. Вероятность невозможного события равна 0. Р(() = 0.

[pic]

Рис. 8.2.3.

Пусть Ф - пустое пространство (не содержащее событий). Тогда ?+Ф = ? и пространство ? не содержит событий, общих с пространством Ф (рис. 8.2.3).
Отсюда следует, что Р(?+Ф) = Р(?) + Р(Ф) = Р(?), что выполняется при Р(Ф) =
0. Другими словами, если одно из событий обязательно должно происходить, то вероятность отсутствия событий должна быть равна нулю. Но при этом ? является достоверным событием, а Ф = ( (невозможное событие) и соответственно Р(() = 0.

Вопрос 2
Диаграмма Вьенна-Эйлера

А) событие A
Б) Сложение – событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A или B
В) произведение событий- А и B одновременно
Г) Дополнение – событие принадлежит к А, но не принадлежит к B
Д) противоположное событию A событие В
Е) Несовместимые события – если они не могут произойти одноременно
Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результате испытания
З) А влечет за собой В

Вопрос 3
Классическая формула вероятности
Если множество элементарных событий ?={?1,?2,…?N},конечно и все элементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Р{А} наступления события
А, состоящего из М элементарных событий, входящих в ?, определяется как отношение числа М элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит название классической формулы вероятности: Р{А}= M/N.
В частности, согласно классической формуле вероятности:
Р{?i }=1/N (i=1,2,... , N)
Р{?}= N/N =1
P{(}=0/N =0
Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов
(учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно Anm
= [pic]? Anm называют числом размещений из n элементов по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно Cnm = [pic] Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена: (a+b) n=Cn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2
?+... + Cnn-1abn-1 + Cnn bn, и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:
Cnm=Cnn-m, Cnm? + Cnm+1 = Cn+1m+1, Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn =2n, ?
Cn0 - Cn1 + Cn2-...+ (-1) nCnn = 0. Числа Anm, Pm и Cnm связаны соотношением: Anm=Pm Cnm. Рассматриваются также размещения с повторением
(т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой nm, число сочетаний с повторением - формулой Cmn+m-1.

Вопрос 4
При аксиоматическом построении вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий ( выделяется (-поле событий S для каждого события A( S задается вероятность P{A} – числовая функция, определенная на
(-поле событий S и удовлетворяющая следующим аксиомам.
Аксиома неотрицательности вероятности для всех A ( S: P{A}( 0.
Аксиома нормированности вероятности: P{(}=1.
Аксиома адаптивности вероятности: для всех A,B(S,таких, что A(B((:
P{A(B}=P{A} +P{B}
Каждая определенная теоретико-вероятностная схема задается тройкой {(, S,
P}, где ( конкретное пространство элементарных событий, S - (-поле событий, выделенное на (, З – вероятность заданная на (-поле S. Тройка {(, S, P} называется вероятностным пространством
Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом),либо не наступить (такую ситуацию назовём неудаxей),причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:
1)каждое испытание случайно относительно события А, т.е. до проведения испытания нельзя сказать появится А или нет;
2)испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;
3)испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет на исходы других испытаний.
Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания- испытаниями Бернулли.
Ф-ла Бернулли: Рmn = Cmn* pm * q n-m = Cmn* pm * (1-p) n-m
Cmn= n!/ m!(n-m)!

Вопрос 5
Сложение вероятностей зависит от совместности и несовместности событий.
Несовместные события. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Это вытекает из того, что множество
С = А+В включает подмножества А и В, не имеющие общих точек, и Р(А+В) =
Р(А)+Р(В) по определению вероятности на основе меры. По частотному определению вероятности в силу несовместности событий имеем:

P(A+B) = [pic] = [pic]+[pic]= P(A) + P(B), где n и m - число случаев появления событий А и В соответственно при N испытаниях.

Противоположные события также являются несовместными и образуют полную группу. Отсюда, с учетом: P([pic]) = 1 - Р(А).
[pic]

Рис. 8.2.4.
В общем случае для группы несовместных событий: P(A+B+...+N) = P(A) + P(B)
+ ... + P(N), если все подмножества принадлежат одному множеству событий и не имеют общих точек (попарно несовместны). А если эти подмножества образуют полную группу событий, то с учетом: P(A) + P(B) + ... + P(N) = 1.

(8.2.7)
[pic]

Рис. 8.2.5.
Совместные события. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A(B).
Разобьем события А и В каждое на два множества, не имеющие общих точек: А',
A'' и B', B''. Во множества А'' и B'' выделим события, появляющиеся одновременно, и объединим эти множества в одно множество С. Для этих множеств действительны выражения:

С = A''(B'' ( А'' ( В'' ( А(В, P(C) = P(A'') = P(B'') = P(A(B).

P(A) = P(A')+P(A''), P(A') = P(A)-P(A'') = P(A)-P(A(B).

P(B) = P(B')+P(B''), P(B') = P(B)-P(B'') = P(B)-P(A(B).
Множества A', B' и С не имеют общих точек и можно записать:
P(A+B) = P(A'+B'+C) = P(A') + P(B') + P(С).
Подставляя в правую часть этого уравнения вышеприведенные выражения, приходим к выражению (8.2.8). Физическая сущность выражения достаточно очевидна: суммируются вероятности событий А и В и вычитаются вероятности совпадающих событий, которые при суммировании сосчитаны дважды.
В общем случае, для m различных событий А1, А2, ..., Аm:

P(A1+...+ Am) =[pic]P(Ai) -[pic]P(Ai(Aj) +[pic]P(Ai(Aj(Ak) -...+(-
1)m+1P(A1(A2( ... (Am). (8.2.9)
[pic]

Рис. 8.2.6.

На рис. 8.2.6 на примере трех пространств можно видеть причины появления в выражении (8.2.9) дополнительных сумм вероятностей совпадающих пространств и их знакопеременности. При суммировании вероятностей пространств А,В и С, имеющих общее пространство АВС, его вероятность суммируется трижды, а при вычитании вероятностей перекрывающихся подпространств АВ, АС и ВС трижды вычитается (т.е. обнуляется), и восстанавливается дополнительным суммированием с вероятностью пространства
АВС.

Вопрос 6
1) Условная вероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B),
Р(В)>0.
2) Событие А не зависит от события В, если Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем
Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3) События А1,А2,…,Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е.
Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Вопрос 7

Формула полной вероятности. Систему событий А1, А2, ...,AN называют конечным разбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а их сумма образует полное пространство событий: А1 + А2 + ... + АN = ?.

Если события Аi образуют разбиение пространства событий и все P(Ai) > 0, то для любого события В имеет место формула полной вероятности: P(B)
=[pic]P(Ak)(P(B/Ak), что непосредственно следует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:
B = B(? = BA1+BA2+...BAN.
P(B) = P(BA1)+P(BA2)+... +P(BAN) =
P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).

Вопрос 8
[pic]