Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Теорема 3.
Пусть [pic] имеет обобщённую производную [pic], то:
1. [pic] (4)

[pic] если [pic].
2. Если к тому же [pic]
[pic] (6)
[pic] (7)
Доказательство.
[pic]
Выберем h так, чтобы [pic]
[pic]
[pic]
Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.
Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.
[pic]
Утверждение.
Пусть [pic], то [pic]
[pic]
Пусть [pic] - открытый компакт, то [pic] для [pic]
[pic]
[pic]

Теорема 5.
Пусть [pic]. [pic] имеет обобщённые производные [pic] и [pic], то существует обобщённая производная [pic].

Пространство Соболева.
Определение.
[pic], такая, что [pic] называется пространством Соболева порядка k.
[pic]
Обозначения: [pic], [pic] или [pic].
Введём [pic].
Утверждение.
[pic] - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.
[pic] - полное пространство.
Доказательство.
[pic] - фундаментальная в [pic] [pic]
[pic].
[pic] - мультииндекс
[pic] - может быть равен 0.
[pic]
[pic] в [pic].
[pic] в [pic].
Интегральное тождество для [pic]:
[pic]
Из сильной сходимости следует слабая:
[pic]
[pic]
Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.
1.[pic] для [pic].
2.Если [pic], то [pic].
3.Если [pic], то [pic].
4.Если [pic], то
[pic] если [pic], то [pic].
5.[pic] - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее [pic] в [pic].
[pic] и пусть [pic].
Пусть [pic].
Пусть [pic], то [pic].
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6.Обозначим [pic] - куб со стороной 2a с центром в начале координат.
Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в [pic].
[pic].
[pic]
Доказательство.
Раздвинем область, возьмём [pic] и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.
[pic] (определена в растянутом кубе)
[pic]
Оценим: [pic]
[pic]
Выберем [pic] и рассмотрим [pic]
[pic]
Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть [pic] - ограниченная область, пусть [pic] - покрытие замыкания Q,
[pic] - может равняться бесконечности.
[pic] - открытые, тогда: существует конечный набор [pic] - финитные, бесконечно дифференцируемые в [pic], неотрицательные функции, такие, что:
[pic]
Используется для локализации свойства: U имеет свойство на [pic], расширяем
D на [pic] путём домножения на [pic].
Доказательство.
Возьмём [pic]. Для [pic] - y покрывается множеством [pic].
Для каждой выбранной y построим:
[pic]
[pic] покрывается [pic]. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:
[pic].
Обозначим: [pic]. Обозначим: [pic].
Определим: [pic]:
[pic]
Получили: [pic].
Если [pic], то [pic], [pic], и [pic].
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
[pic] выполняется свойство 3.
[pic] - выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.
[pic]
[pic]
Продолжение функции из [pic] в [pic].
Лемма 1.
[pic] [pic] - продолжение функции f:
[pic] и [pic]
1.Определить функцию.
2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по [pic] до k-го порядка.
Доказательство.
Определим [pic] (2)
Коэффициенты [pic] из условия:
[pic]
[pic] (3)
[pic]
Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.
[pic]
Выполняется одно уравнение из (3), и:
[pic].
Значит: [pic].
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в [pic].
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к [pic] - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и
(1) тоже справедливо.
Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве [pic] в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.
[pic]
[pic] (4)

Теорема о продолжении функции.
Пусть[pic] - ограниченная область, граница [pic]. Пусть [pic] ([pic]- область), тогда:
[pic] - продолжение f, такая, что:
1)[pic]
2)[pic]
3)[pic] (5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на [pic] и все свойства, как в лемме 1.
[pic]
Доказательство.
[pic]
В окрестности каждой точки границы: [pic] нарисуем шар [pic].
Пусть в O(z) граница задаётся уравнением [pic].
Введём новые переменные:
[pic] - невырожденное преобразование координат.
Преобразование: [pic] - внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество: [pic]
Вырезали куб [pic].
[pic]
Результат преобразования
Прообраз куба [pic] - криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.
(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y, переход от y к x : [pic]
[pic]
Введём : [pic] [pic] если [pic]

[pic]
[pic] на носителях [pic] обратятся в 1.
[pic]
Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т.к. [pic] - финитная, то F(x) - финитная на
Доказать: F(x)=f(x),если [pic].
[pic]
Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств [pic] (следует из доказательства).
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область
[pic] , [pic]- всюду плотно в [pic].
Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию [pic].
[pic] - ограниченная.
F-продолжение f. Так как F - финитная в , то [pic]
[pic]

Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть [pic] - ограниченная область, [pic], тогда :

[pic] - сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим [pic] ; продолжение функции f : [pic].
Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций [pic].
Очевидно : [pic].
Где коэффициенты : [pic].
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции [pic] образуют ортонормированную систему, если [pic] , и [pic] .
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система [pic] ,что [pic].
Разложение по этому базису единственно, и : [pic].
Равенство Парсеваля.

[pic].
Пространство [pic] - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :
[pic]
Определим вид коэффициентов Фурье:
[pic] проинтегрируем по частям и получим :
[pic] , где [pic]
Получаем : [pic] и следовательно :
[pic]
F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.
Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из Hk(Q).
Для функции из[pic] понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.
Если [pic] удовлетворяет условиям дифференцируемости, то : определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим [pic][pic] -ограниченную область, [pic].
[pic] - (n-1) - мерная поверхность, [pic].
Пусть [pic]
[pic]
[pic]Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :
[pic][pic]
[pic]
Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.
[pic]
Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :
[pic]
Оценим :
[pic]
Обе части умножим на [pic] и проинтегрируем по D :
[pic] f- финитная.
Так как [pic] может быть продолжена в [pic] финитным образом,
[pic], причём [pic]
[pic]
[pic]
Существует последовательность [pic]
[pic][pic]
Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в [pic]
[pic]- полное, следовательно[pic] - сходится, [pic]
Перейдём к пределу, получим :
[pic]
Утверждение.
Определение [pic] не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности
[pic].
Доказательство.
Пусть есть две последовательности [pic] в [pic].
Пусть [pic].
Следовательно, должны совпадать два предела в [pic].
Рассмотрим
[pic]
Значит : [pic], и [pic].
Если функция непрерывна в [pic] и принадлежит [pic], то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.
Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная, [pic].
[pic], [pic] - единичный вектор внешней нормали к [pic].
Теорема Реллиха-Гординга.
Если [pic], то [pic], если [pic] сходится в [pic], то [pic] сходится в
[pic][pic].
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.
Пусть [pic]- ограничена, [pic], тогда : [pic] - компактно вложено в [pic].
Множества, ограниченные в [pic], являются предкомпактными в [pic].
Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.
Из любой ограниченной последовательности функций из [pic] можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в [pic].
Или : Для [pic] можно выбрать [pic] , сходящуюся в [pic].
Доказательство.
1. Продолжим функции [pic] финитным образом в более широкую область ,
[pic].
[pic].
Оператор продолжения ограничен, и : [pic].
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций [pic] с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции [pic] - бесконечно дифференцируемы в [pic] .
[pic]- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье : [pic].
[pic].
В силу финитности : [pic]
Оценим по неравенству Коши-Буняковского: [pic]
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
[pic] - слабо сходящаяся в [pic] .
[pic] - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции [pic].
В качестве [pic] возьмём функции :
[pic] - сходится [pic]
Докажем, что [pic] - фундаментальна в [pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Так как последовательность [pic] сходится для любых и ограничена, то для интеграла [pic] применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
[pic][pic], где [pic]- радиус шара.
[pic] исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования
Фурье :
[pic]
Выбором R, интеграл [pic] можносделать сколь угодно малым, т.е. :[pic].
Если [pic] и k,m - выбрать , то : [pic] , и последовательность
[pic] - фундаментальна.
Формула интегрирования по частям
[pic] (1)
[pic][pic]- ограничена, [pic].
[pic] (2)
[pic]
В уравнении (2) перейдем к пределу при [pic], получаем уравнение (1).
Пространство [pic]
Определение.
Назовём пространством [pic][pic] замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в [pic].
[pic]- замыкание [pic] в [pic].
Если есть [pic], то :
[pic].
Если [pic], то [pic]. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
[pic].[pic]- ограничена, [pic].
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).
Скалярное произведение [pic]. , . [pic] называется эквивалентным ( . , . )
, если :
[pic]
[pic].
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.
Теорема 2.
В пространстве [pic] можно ввести скалярное произведение по формуле :
[pic]

(3)
Доказательство.
[pic]
Надо доказать :
[pic]

(4)
Доказательство от противного.
[pic]
[pic]
Будем считать, что [pic], а это значит : [pic]
[pic][pic] (по теореме Реллиха-Гординга)
[pic]
[pic]
Имеем противоречие.Теорема доказана.

Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
[pic]
Пусть [pic]- решение задачи (1)-(2). Возьмем [pic] и умножим (1) на [pic], проинтегрируем и получим :
[pic]. Если [pic]- гладкая, то :
[pic]

(3)
Определение.
Функция [pic] называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции [pic] выполняется тождество (3).
При исследовании обобщенных решений [pic].
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор [pic], такой, что [pic].
При этом [pic] -компактный самосопряжённый положительный оператор.
По определению : [pic]. [pic] - антилинейный по [pic].
[pic]. f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
[pic]
F - линейно зависит от u.[pic][pic]
[pic].
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
[pic]
Самосопряженность доказана.
[pic]
Теорема.
Для любой функции [pic] cуществует единственный [pic] краевой задачи (1)
(2). При этом
[pic]

(4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
[pic]

Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
[pic]
Определение.
Функция [pic] называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
[pic][pic]
(3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :

[pic]
2.Существует ортонормированный базис в [pic] состоящий из собственных функций задачи (1) (2) [pic].
3. [pic] составляет ортонормированный базис в [pic] с эквивалентным скалярным произведением :
[pic]

(4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
[pic] , [pic] , [pic].
Эквивалентная задача : [pic]
Теорема 1.
Если [pic] - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр
[pic] - вещественный, и :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic] - компактный, самосопряженный оператор, тогда [pic] состоит из
{0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
[pic]
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть [pic] - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве [pic], состоящий из собственных функций этого оператора : [pic].
Для удобства [pic][pic] ,
[pic].
Значит : [pic] - ортонормированная система в [pic].
Так как [pic] всюду плотно в [pic], то [pic] образует ортонормированный базис в [pic].
[pic]
Значит : [pic] образует ортонормированный базис в [pic].
Рассмотрим задачу :
[pic]

(1) где [pic]
Краевые условия :
[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы чехова, территории реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата