Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

(2)
[pic]

(3)
[pic]

(4)
[pic]
[pic]

(5)
[pic]

(6)
[pic]

(7)
[pic]

(8)
[pic]

(9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для [pic].
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда [pic] для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
[pic]

(10)
[pic]

(11)
[pic]

(12) где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для [pic] существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда [pic].
3. [pic]

Оценим член : [pic]
[pic]
[pic]
[pic] - компактно.
[pic]

(13)
[pic]

(14)
Изучим член :
[pic]
Значит :
[pic]

(15)
(1) (2) [pic]

(16)
(3) (4) [pic]

(17)
(5) (6) [pic]

(18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда [pic]
Т.е. [pic]
Теорема доказана.

Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
[pic]- ограничено (1)
[pic]

(2)
[pic] (3)
[pic] в [pic]
[pic]
[pic]
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
[pic]
Пусть [pic]- финитная в Q :
[pic] (1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
[pic]
Обозначим : [pic].
Теорема.
Пусть [pic], тогда :
1) если [pic], где [pic], то :

[pic]
(3) и при этом :

[pic]
(4)
2) Если для [pic], то : [pic]
Доказательство.(1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
[pic]
[pic] (3)
[pic]

(4)
[pic]
[pic]
[pic] - доказано (3)
[pic]
(применив неравенство Коши-Буняковского)
[pic]
[pic]
По теореме Фубини имеем неравенство :
[pic]
[pic]
Доказательство. (2-ая часть. )
[pic]
Значит : [pic]
Доказательство теоремы 2.
Пусть [pic][pic]- ограниченная, односвязная область. [pic].
Q - симметрично относительно [pic], т.е. если [pic], то [pic].
[pic]
Обозначим :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic], тогда :
1) если [pic], где [pic], то :

[pic]
2) если [pic], то : [pic]
Указание. Для доказательства рассмотреть :

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы чехова, территории реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата