Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: курсовая работа по менеджменту, пяточные шпори
| Добавил(а) на сайт: Целобанов.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата

Из (1) и (2) получаем, что

Заменив в (2) и (3) матрицу A на и перейдя к комплексно сопряж"нным выражениям, обнаруживаем, что

То есть нам удалось выделить общий множитель из двух многочленов, принадлежащих взаимно простым классам эквивалентности [P] и [Q]. Значит, этот множитель тривиален, т.е. , из чего следует, что . Таким образом, , где C - некоторая константа. Однако если , то

3. Доказательство теоремы 2

Пусть G=SU(p,q), =su(p,q) , - е" подалгебра Картана, - минимальный инвариантный конус. Тогда:

Пусть - внутренняя функция, такая, что степени многочленов P и Q минимальны.

1) Если , то положим

Заметим, что функция F принимает значение ноль в какой-то точке единичного круга . Действительно, если предположить противное, то функция будет аналитической в , в частности в (по принципу максимума модуля). С другой стороны, . Поэтому |F|=1, что противоречит многомерному принципу максимума модуля, поскольку ограниченная функция не может принимать значение, равное по модулю единице, во внутренней точке полугруппы л (рассматриваемой как область в ).

Заметим также, что внутренним автоморфизмом можно непрерывно перевести Ak1l1(z) в Ak2l2(z), а, значит, и A(z) в B(z). Далее, поскольку интеграл

есть целое число (равное числу нулей функции Fkl, ввиду ее аналитичности), и подынтегральная функция меняется непрерывно при переходе от матрицы Ak1l1(z) к Ak2l2(z), получаем, что этот интеграл имеет одно и то же значение для любых k и l. Точно так же будут совпадать интегралы и . Если , то , т.к. B(z)=A11(zq).

Поскольку функция F имеет ноль внутри единичного круга, . Значит, рациональная функция F имеет по крайней мере q нулей в . А это говорит о том, что степень многочлена P, стоящего в числителе , не меньше, чем q.

2) Если p>q, то оценим степень через степень многочлена Q. Имеем: (см. (1.2)). Положив

и повторив вышеприведенные рассуждения с учетом того, что , получим следующую оценку: . Таким образом, . Докажем теперь, что указанная оценка достигается.

Предложение. Пусть . Тогда функция имеющая степень p, является внутренней на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,p).

Доказательство.Пусть Z - квадратная матрица размером . Тогда для матрицы X соответствующее ей отобpажение является аналитическим автоморфизмом области . Здесь E - единичная матрица размером p. Границей области является множество , которое разбивается на компоненты, различающиеся рангом матрицы (E-Z*Z), причем отображение ранг этой матрицы не меняет (см. [7]). Поэтому и при