Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: решебник по русскому класс, реферати українською
| Добавил(а) на сайт: Timofeev.

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

[pic]

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

[pic]

Переходя к пределу при [pic], получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

[pic]

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности ( фигуры (в процессе вычисления ( сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам

[pic].

В пределе при [pic] интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

[pic](*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность (.

Если же поверхностная плотность переменна:

[pic]

то соответствующие формулы будут иметь вид

[pic]

Выражения

[pic] и

[pic] называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл [pic] выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

4. Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.