Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: решебник мордкович, баллов
| Добавил(а) на сайт: Al'fija.

Алгоритм.

[pic]

Рис. 4. Алгоритм работы программы integral.pas.

Листинг программы.

Программа написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program Integral; uses
Crt, Dos; var dx,x1,x2,e,i:real; function Fx(x:real):real; begin
Fx:=2+x; {В этом месте запишите функцию, для вычисления интеграла.} end;

procedure CountViaBar; var xx1,xx2:real; c:longint; begin writeln('------------------------------------------------'); writeln('-->Метод средних прямоугольников.'); writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e)); i:=0; for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin write('Итерация ',c,chr(13)); xx1:=Fx(x1+c*e); xx2:=Fx(x1+c*e+e); i:=i+abs(xx1+xx2)/2*e; end; writeln('------------------------------------------------'); writeln('Интеграл=',i); end;

procedure CountViaTrap; var xx1,xx2,xx3:real; c:longint; begin writeln('------------------------------------------------'); writeln('-->Метод трапеций.'); writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e)); i:=0; for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin write('Итерация ',c,chr(13)); xx1:=Fx(x1+c*e); xx2:=Fx(x1+c*e+e); if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2; i:=i+abs(xx2-xx1)*e+abs(xx3)*e; end; writeln('------------------------------------------------'); writeln('Интеграл=',i); end;

begin writeln('------------------------------------------------'); writeln('-=Программа вычисления определенного интеграла=-'); writeln('Введите исходные значения:'); write('Начальное значение x (x1)=');Readln(x1); write('Конечное значение x (x2)=');Readln(x2); write('Точность вычисления (e)=');Readln(e);
CountViaBar;
CountViaTrap; writeln('------------------------------------------------'); writeln('Спасибо за использование программы ;^)'); end.

Исходные данные. Результаты расчетов и анализ.

Ниже приведен результат работы написанной и откомпилированной программы:

---------------------------------------------
-=Программа вычисления определенного интеграла=-
Введите исходные значения:
Начальное значение x (x1)=0
Конечное значение x (x2)=10
Точность вычисления (e)=0.01
---------------------------------------------
-->Метод средних прямоугольников.
Всего итераций:1000
---------------------------------------------
Интеграл= 7.0100000000E+01
---------------------------------------------
-->Метод трапеций.
Всего итераций:1000
---------------------------------------------
Интеграл= 7.0150000001E+01
---------------------------------------------
Спасибо за использование программы ;^)

Расчет проверялся для функции [pic], а определенный интеграл брался от 0 до 10, точность 0,01.

В результате расчетов получаем:
Интеграл [pic].
Методом трапеций [pic].
Методом средних прямоугольников [pic].

Также был произведен расчет с точностью 0,1:
Интеграл [pic].
Методом трапеций [pic].
Методом средних прямоугольников [pic].

Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.

Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.

Список литературы.

1. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для

ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

2. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

3. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.