Министерство Науки и Образования

Республики Молдова

Молдавский Государственный Университет

Кафедра Информатики и Дискретной Оптимизации

Дипломная работа:

«Задача остовных деревьев в k–связном графе»

работу выполнил ст. V курса гр.52MI
Жуков В.

Работу приняла:

Dr.физ–мат. наук

Присэкару В.К.

Кишинев–2002

Содержание:

Введение………………………………………………………………………….2
Глава I Основные определения………………………………………………….4
§1 Основные определения теории графов……………………………………...4
§2 Матрицы смежности и инцидентности……………………………………..10
§3 Деревья………………………………………………………………………..13
Глава II Связность ………………………………………………………………18
§4 Вершинная связность и реберная вязность…………………………………18
§5 Двусвязные графы…………………………………………………………....22
§6 Теорема Менгера………………………………………………………….….32
Глава III Выделение k непересекающихся остовных деревьев
2k–реберно связном графе………………………………………………………36
§7 Построение k непересекающихся остовных деревьев………...………...…37
§8 Необходимость условия [pic](G)[pic]2k……………………………………..….40
§9 Текст программы……….………………………………………………….…42
Вывод……………………………………………………………………………..51

Введение
Начало теории графов как математической дисциплины было положено Эйлером в его знаменитом рассуждение о Кенигсбергских мостах. Однако эта статья
Эйлера 1736 года была единственной в течение почти ста лет. Интерес к проблемам теории графов возродился около середины прошлого столетия и был сосредоточен главным образом в Англии. Имелось много причин для такого оживления изучения графов. Естественные науки оказали свое влияние на это благодаря исследованиям электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных головоломок подавалось формулировкам непосредственно в терминах графов, и это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая среди этих задач–проблема четырех красок, впервые поставленная перед математиками
Де Морганом около 1850 года. Никакая проблема не вызывала столь многочисленных и остроумных работ в области теории графов. Благодаря своей простой формулировке и раздражающей неуловимости она до сих пор остается мощным стимулом исследований различных свойств графов.

Настоящее столетие было свидетелем неуклонного развития теории графов, которая за последние десять – двадцать лет вступила в новый период интенсивных разработок. В этом процессе явно заметно влияние запросов новых областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, электрических сетей и контактных цепей, а также проблем психологии и биологии.
Вследствие этого развития предмет теории графов является уже обширным, что все его основные направления невозможно изложить в одном томе. В настоящем первом томе предлагаемого двухтомного труда сделан акцепт на основные понятия и на результаты, вызывающие особый систематический интерес.
По теории графов имеется очень мало книг; основной была книга Д. Кёнига
(1936), которая для своего времени давала превосходнейшее введение в предмет. Довольно странно, что таких книг на английском языке до сих пор не было, несмотря на то, что многие важнейшие результаты были получены американскими и английскими авторами.

Глава I

Основные понятия

§1 Определения.

Предметом первых задач в теории графов были конфигурации, состоящие из точек и соединяющих их линий. В этих рассмотрениях было несущественно, прямые ли это линии или же они являются криволинейными непрерывными дугами, соединяющими две концевые точки, где расположены эти линии, являются ли они длинными или короткими. Существенно только то, что они соединяют две данные точки.

Это приводит к определению графа как абстрактного математического понятия. Рассматривая множество V, состоящее из соединенных некоторым образом точек. Назовем V множеством вершин и элементы v[pic]V–вершинами.
Граф

G=G(V) (1.1) c множеством вершин V есть некоторое семейство сочетаний, или пар вида

E=(a, b), a,b[pic]V (1.2) указывающие, какие вершины являются соседними. В соответствии с геометрическим представлением графа каждая конкретная пара (1.2) называется ребром графа; вершины a и b называются концевыми точками, или концами ребра.

Можно использовать и другой подход. Если даны два множества V1 и V2 то можно образовать множество всех пар

(v1,v2), v1[pic]V1, v2[pic]V2.
Это множество пар называется произведением и обозначается через V1(V2. В нашем случае каждая пара вершин (a, b) есть элемент произведения V(V. Таким образом можно сказать, что граф G из (1.1) с данными ребрами (1.2) есть некоторое подмножество произведения V(V.

Это определение графа должно быть дополнено в одном важном отношении. В определении ребра (1.2) можно принимать или не принимать во внимание порядок расположения двух его концов. Если этот порядок несуществен, т.е. если