Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпаргалки по экономическому, рассказы
| Добавил(а) на сайт: Борислав.

Из (*) и (**) ( [pic]ERT подобен [pic]АВС при [pic](по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», [pic].
Итак, отношение площади треугольника (по условию SK), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС - [pic].

Этап 4: докажем, что [pic].
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.

Задача 1 Финального тура
Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 – 2y – 1 = 0 в целых числах.

Решение
Представим исходное уравнение в виде:
[pic]
Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где k((.
Тогда
[pic] Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное.
Подставим значения в преобразованное уравнение.
[pic]
Введем замену: х1 = -х. Тогда полученное уравнение примет вид [pic].
Решим данное уравнение относительно х1 (очевидно, что [pic]).
1. Рассмотрим случай, когда k = 1.

[pic]

Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;

Ответ: (1;0), (0;-3);
2. Рассмотрим случай, когда k = -1.

[pic]

Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;

Ответ: (-1;0), (-3;1);
3. Рассмотрим случай, когда k = 3.

[pic] Отсюда у = -14.

Ответ: (-9;-14)
4. Рассмотрим случай, когда k = -3.

[pic]- нет решений в области целых чисел.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения:
(1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).

Cумма производных
Условие: Пусть
[pic].
Доказать, что для нечетных [pic]- число четное, а для четных [pic] - число нечетное.

Решение
Рассмотрим производные P(x):
[pic]
Далее замечаем, что [pic]. Рассмотрим это число:
1. n = 2k..

4k2(2k-1) – это число четное.
2. n = 2k+1.

2k*(2k+1)2 – также число четное.
Отсюда следует, что[pic]- число четное при любых допустимых значениях n.
Значит,
[pic], как сумма четных чисел, число четное.
Введем некоторую функцию F(x).
[pic]
Рассмотрим возможные случаи для х:
1. х – число четное
[pic]- число нечетное,
[pic] - число четное ( F(x) – нечетное.
Значит, [pic]-нечетное число, ЧТД.
2. х – число нечетное a. n – нечетное

[pic]- число четное,

[pic] - при четном х – четное, значит сумма четна ( F(x) – четное. b. n – четное
[pic]- число нечетное,

[pic] - при четном х – четное, значит сумма нечетна ( F(x) – четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом
(четном/нечетном) значении n (

[pic] - четное ЧТД
В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных [pic]- число четное, а для четных [pic] - число нечетное.

ЧТД.

Необычное уравнение
Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения
[pic] при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.

Решение
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит
[pic]
Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда