Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпаргалки по экономическому, рассказы
| Добавил(а) на сайт: Борислав.

[pic] [pic]
Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.
Идем от обратного: S(y)=n [pic]где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.
При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – [pic].
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.

Задание 6 Финального Тура
Найти все функции [pic], для которых выполняется [pic]

Решение
Пусть х = 1.
[pic]. Заменим f(y) на а, имеем:
[pic]. (*)
Проверим полученную функцию. y = 1, тогда
[pic]
Теперь подставим в исходную функцию.
[pic]
Значит, одно из возможных значений функции - [pic].

Математический Анализ
Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции
[pic] (это значит, что для произвольного [pic], существует [pic]), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные
[pic]соответственно), для которых f(0)=f(1)=0 и [pic]. Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.

Решение
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:
[pic]

Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
[pic] [pic].
Итак,
[pic]
[pic]
Значит [pic].
[pic]
Значит, [pic].
Тогда, [pic].
[pic], т.к. [pic] (по условию).
[pic]
Рассмотрим два случая:
1. y2 = x – x2 (точка лежит на контуре)
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 900)
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
2. [pic]
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.

Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
Условие: упростить выражение [pic].

Решение
Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n
– нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.
1. n = 2k + 1 – нечетное
Тогда, ряд будет иметь вид:
[pic].
Зная, что [pic], упростим этот ряд.
[pic].
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
[pic], при n = 2k + 1.
2. n = 2k
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
[pic], где n – четное.

Работа Гончаренко Никиты,

Г. Краматорск, ОШ#35

--------------------
[pic]

a = y + z b = x + y [pic] c = x + z

[pic]