Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

(т.е. из х ýк у и уýк Z следует х ýк Z).

В частности, не требуется, чтобы отношение было линейным, т.е. чтобы любые две ситуации были сравнимы друг с другом (в формальной записи для любых двух различных ситуаций х и у либо х ýк у, либо у ýк х).

Нередко отношение предпочтения задается следующим образом. На множестве ситуаций S определяется функция Hк, принимающая вещественные значения и называемая функцией выигрыша коалиции интересов К. Ее значение Нк (х) понимается как выигрыш, который коалиция К получает в ситуации х. Естественно принять, что х ýк у, если Нк (х) > Нк (у).

Итак, конфликтом (или игрой) называется система

Г=

где перечисленные в ломаных скобках множества и отношения связаны друг с другом, как это было описано выше. Математическая теория игр занимается изучением конфликтов (игр) именно в этом понимании.

Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий.

Ситуация равновесия

Пусть дан конфликт (игра) Г. Говорят, что ситуация (т.е. n-набор стратегий) (si*, s2**,..., sn *) равновесна, или что она является ситуацией равновесия, если для любого i = 1, ..., п и для любого s1Î Si имеет место неравенство

.

Другими словами, ситуация равновесна, если ни один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый игрок знает, как будут играть остальные, он имеет основание придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится весьма устойчивой.

Не все игры имеют ситуацию равновесия. Например, игра в орлянку такой ситуации не имеет.

Если конфликт не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных участников, сохраняя собственные стратегии в тайне. Что постоянно приводит к нестабильности в развитии взаимодействия. Это наводит на мысль (и это действительно верно), что в конфликтах с полной информацией ситуации равновесия существуют.

Классификация конфликтов (игр)

В качестве первого классификационного признака возьмем множество коалиций интересов Âи. Если это множество пусто, то конфликт вырождается в явление, в исходах которого никто не заинтересован. Математические модели такого рода явлений составляют содержание традиционной описательной математики.

Если множество Âu состоит из единственной коалиции интересов, то мы также имеем конфликт, выродившийся в явление, в котором единственная заинтересованная сторона стремится выбрать наиболее предпочтительную для себя ситуацию.

Математическая трактовка этого круга вопросов сводится к разного рода экстремальным задачам, классическим, как, например, решаемые в дифференциальном или вариационном исчислениях или современным, которые составляют предмет различных отраслей оптимального программирования (линейное, дискретное, динамическое, стохастическое и т.д.).

Собственно теория игр начинается тогда, когда множество Âu. насчитывает не менее двух заинтересованных сторон.

Следующий признак — количество коалиций действия. Ясно, что рассмотрение конфликтов с пустым множеством коалиций действия лишено смысла: множество ситуаций состоит более чем из одного элемента и вопрос об отношении предпочтения вообще не возникает.

Если в конфликте имеется одна коалиция, то исследование конфликта уже становится содержательным. В этом случае имеется единственное множество стратегий sk, а множество всех ситуаций является его подмножеством: S Ì sk. Поэтому рассмотрение подобного конфликта можно начинать с этого множества ситуаций, считая их стратегиями единственной коалиции действия. Поскольку для таких конфликтов стратегии совпадают с ситуациями, можно применительно к ним термин «стратегия» не употреблять вовсе. В связи с этим такого рода конфликты принято называть нестратегическими.

Нестратегическим конфликтам противостоят конфликты, в которых участвуют более одной коалиции действия. Они называются стратегическими. В большинстве работ по теории игр рассматриваются такие стратегические конфликты, в которых множества коалиций действия и коалиций интересов совпадают (как те, так и другие коалиции называют в этом случае игроками), множество ситуаций совпадает с декартовым произведением множеств стратегий:

S = П SK,

к Î Âd.

а отношения предпочтения (для игроков) определяются соответствующими функциями. Такие конфликты называются бескоалиционными.

Важным частным случаем бескоалиционного конфликта является тот, когда число игроков равно двум, а значения функций выигрыша в любой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

Н1 (s) = ¾ H2 (s).

Такие конфликты называются антагонистическими, или конфликтами двух лиц с нулевой суммой.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: новшество, контрольные по математике.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата