Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

div(φ∙gradφ) = (gradφ)2 + φ∙div∙gradφ,

E = –gradφ,

div gradφ = –ρ/ε0, (5)

где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),

∫V (E2 – φρ/ε0)dV = 0. (4а)

Все величины, входящие в (4а) относятся к одной и той же точке P(X, Y). Но равенство (4а) выполняется не только при равенстве нулю подынтегрального выражения. Более общее выражение имеет вид,

∫V (ε0/2)E2dV = ∫V (1/2)φρdV. (6)

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ∙gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

∫S gradφ∙dS = ∫V div gradφ∙dV. (7)

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

∫S EdS = ∫V (1/ε0)ρdV. (8)

Правая часть (8) (без (1/ε0)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R0, 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ1(1) и φ2(2); φ2(1) и φ1(2) – потенциалы: собственный от Q1 в месте расположения Q1 и аналогично для Q2; создаваемый зарядом Q2 в месте расположения Q1 и создаваемый зарядом Q1 в месте расположения Q2, соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

ρ = ρ1 + ρ2 = Q1δ(1) + Q2δ(2), (9)

и учитывая, что потенциал в любой точке поля равен φ = φ1 + φ2, находим значение интеграла в виде суммы четырёх слагаемых,

∫V(1/2)φρdV = (1/2)[φ1(1)Q1 + φ2(2)Q2 + φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2]. (10)

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R1 = R2 = R0), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U.

(1/2)[φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2] = (1/8πε0R0)(Q2Q1 + Q1Q2) = Q1Q2/4πε0R0 = U. (11)

Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E2, видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:

W1 = (ε0/2)E12; W2 = (ε0/2)E22; (12)

W3 = (ε0/2)∙2E1E2∙cosα. (13)

Члены W1 и W2 описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ1(1)Q1/2 и φ2(2)Q2/2 в формуле (10),

∫V W1dV = φ1(1)Q1/2, ∫V W2dV = φ2(2)Q2/2, (14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W3, зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W3 «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W3 с интегралом (11),

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат вещество, бесплатные рефераты без регистрации скачать.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата