Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Нельзя здесь не вспомнить печальную историю И.Милина - известного математика, преподававшего в военном училище в Ленинграде, и выгнанного оттуда вскоре после войны только за то, что во время читавшейся им лекции после обязательного упоминания о приоритете русской математики в каком-то элементарном вопросе, он позволил себе юмористически заметить: "А теперь перейдем к делу".

С другой стороны, все прекрасно знали, что многие новые и разумные идеи, появлявшиеся в СССР, чаще всего пробиться не могли, или же пробивались, совершив кругосветное путешествие. Отчасти именно так было с теорией Л.В., как и со многими другими идеями.

Наступление Л.В., начавшиеся в 1956 году, продолжалось до середины шестидесятых, когда его экономические и матэкономические теории были, наконец, если не признаны идеологическим и экономическим официозом, то, хотя бы не были запрещены.

Позже пришло даже небезоговорочное признание: в 1965 году - Ленинская премия (вместе с В.В.Новожиловым и В.С.Немчиновым). С самого начала Л.В. поддерживали многие маститые математики (А.Н.Колмогоров, С.Л.Соболев) и некоторые экономисты - в дискуссиях, конференциях и пр. Участвовало очень много специалистов и речь, конечно, шла не только о теориях Л.В., но и о многом другом (о близких экономических теориях, например, В.В.Новожилова, о кибернетике, о роли математики и машин, и др.). Запомнилась многолюдная конференция математиков и экономистов в 1960 г. в Москве, где выступали и маститые, и молодые ученые, притом, за редким исключением, -- в поддержку новых идей. В целом, это несомненно была победа разума, но и Л.В. потратил на эту борьбу слишком много сил, отнятых у математики и науки в целом. Фактически с конца 50-х гг. он прекратил свои систематические занятия "чистой" математикой, и одна из его последних математических работ была опубликована в "Успехах" в конце 50-х гг.

История борьбы за признание его идей обширна и интересна как для историка науки, так и для историка советского периода. Она плохо отражена в литературе и, к сожалению, мало кто занимается ею сейчас; в то же время как сам этот опыт, так и сами экономические принципы, пропагандировавшиеся Л.В., необходимы сейчас. Лишь в этом году был выпущен сборник "Очерки истории информатики в России" (Новосибирск, СО РАН), где есть материалы и об этой эпопее.

В 1989 году мы устроили научную конференцию в Ленинграде, посвященную 50-летию выхода его классической брошюры "Математические методы планирования производства". Отчет о ней был опубликован в "Экономико-математических методах". В.Л.Канторович, готовясь к ней, нашел в архиве массу интересных и неизвестных до того материалов о борьбе Л.В. за свои идеи и, в частности, письма и решения идеологических бонз по поводу его трудов. Эти материалы должны быть опубликованы и стать известными всем тем, кто интересуются печальной и поучительной историей нашей страны. И тогда, и, тем более, сейчас люди мало знают об этом.

Конечно, присуждение Нобелевской премии поставило Л.В. в совершенно уникальное положение в СССР (единственная наша премия по экономике, да еще одновременно с премией мира А.Д.Сахарову), - это ли не означало полное признание и доверие? Однако это положение по-прежнему и до самого конца оставалось скорее положением пленника, а не первого эксперта, как должно было бы быть.

Хотя экономические идеи Л.В. в определенном смысле были созвучны плановой экономике, и нетрудно их интерпретировать в обобщенно марксистском духе, но их неприятие, так долго продолжавшееся и так и не наступившее в полной мере, объясняется не в логических, а в психологических категориях, - серость, присущая стареющему догматическому режиму, психологически неспособна к интеллектуальному обновлению, как бы ни доходчиво объясняли ей ее же выгоду. Очень упрощенную трактовку взаимоотношений Л.В. и господствующей идеологии дал в небезынтересной статье А.Каценеленбоген в статье "Нужны ли в СССР Дон Кихоты?" (Л.В.Канторович: ученый и человек, его противоречия, Chalidze Publication, 1990).

Я не стану обсуждать здесь глубокие и важные проблемы взаимоотношений ученого и общества - а в советские времена эти отношения особенно сложны и не допускают однолинейных и примитивных трактовок. Конечно, всякое конформистское общество отвергает новые, необычно выглядящие идеи, если они не внедряются власть предержащими в обязательном порядке. Это относится даже и к тем случаям, когда выгода от принятия новых реализации новых идей несомненна. "Власть не любит, когда ее защищают недоступными ей средствами" -- сказал по близкому поводу один французский советолог. Немудрено, что ученый, желающий продвинуть свои идеи, вынужден хотя бы отчасти говорить на конформистском языке. И Л.В. иногда перебарщивал в этом. Только тот, кто знает или помнит те времена и тех людей, переживших леденящий страх конца 30-х гг., может правильно оценить некоторые шаги, выглядящие странными в нормальном человеческом обществе. Невозможно скидывать со счетов атмосферу угрозы жизни для тех, кто посмел хоть немного отклониться от предписанных идеологических установок, а именно в этой атмосфере прошла большая часть жизни этого поколения. Эта угроза вполне могла быть реализована в случае Л.В.

Знаменитая статья Кемпбела "Маркс, Канторович, Новожилов" в "Slavic review" продемонстрировала достаточно полное понимание некоторыми американскими экономистами того, что происходило в СССР с теориями Л.В. и В.В.Новожилова. Эта статья наделала много шуму, она была засекречена и лежала в спецхранах публичных библиотек. И авторам (в частности, Л.В.) пришлось доказывать, что они не согласны с "буржуазной" трактовкой теорий и событий, данной Кемпбелом. А на самом деле, он довольно точно описал и ничтожество экономического истеблишмента в СССР, и логическую неизбежность тех выводов, к которым пришел Л.В., последовательно развивая свой строго математический подход к конкретным экономическим задачам.

Мне не раз в 90-х гг. приходилось рассказывать за границей об эпопее линейного программирования в СССР, и было удивительно трудно объяснить, даже на этом примере, "чудеса" советской системы, отвергавшей достижения своих ученых из-за вздорных идеологических предрассудков. Быть может, лишь ссылка на историю с Лысенко, хорошо известную на Западе, помогала слушателям понять хоть что-то.

Хочу сделать еще одно замечание общего характера. Когда мы вспоминаем историю и биографию советских ученых действительно крупного масштаба, нам грозят две крайности: первая - сделать из них икону, помнить только о научных заслугах и хороших делах и забыть об их компромиссах с властью, об уступках (типа подписания верноподданических писем, участия в "коллективных" кампаниях и пр.); вторая крайность - обвинить их в откровенном прислужничестве тоталитаризму уже по самой сути своей деятельности. Сейчас, когда возможно писать открыто, когда нет цензурного давления на авторов, особенно важно понять, что для многих (не всех) выдающихся ученых того поколения их положение в тогдашнем советском обществе было если не внутренней трагедией, то во всяком случае источником терзаний. Поэтому ни та, ни другая крайность не позволяют понять всю сложность и объективную трагичность ситуации - положения таланта под прессом тотального контроля.

О некоторых поступках можно сожалеть, но дело не только в том, что научные заслуги перевешивают все остальное, -- нужно еще помнить о том, что жизнь талантливого советского ученого посвящена прежде всего его науке и он подчас вынужден ради науки и реализации своих идей идти на компромиссы с властью, которая использует его авторитет для своих сиюминутных целей и чаще всего не понимает пользу даже для себя от деятельности выдающегося ученого в целом, если он не стал полностью ее собственностью или адептом, относится к нему подозрительно или даже враждебно.

Возвращаясь к самому линейному программированию, думаю, что история того, как задача фантреста, рассмотренная Л.В. в 1938 году, привела к теории наилучшего распределения ресурсов, - одна из самых замечательных и поучительных в истории науки ХХ века; она же может служить апологией математики. Именно такое отношение к работам Л.В. постепенно стало общепринятым среди математиков, его разделяли А.Н.Колмогоров, И.М.Гельфанд, В.И.Арнольд, С.П.Новиков и др. Нельзя не восхищаться естественностью и внутренней стройностью математической работ Л.В. по двойственности линейного программирования и их экономической интерпретацией.

2. О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях

А) Связи линейного программирования с функциональным и выпуклым анализом.

Л.В. уже перед войной был признанным авторитетом во многих математических областях, в особенности как один из создателей школы в функциональном анализе. Неудивительно, что и линейное программирование в его трактовке было связано с функциональным анализом. Точно так же понимал эти задачи и фон Нейман: его основная теорема теории игр, модели экономики и экономического поведения и другие экономико-математические результаты несут явный отпечаток концепций функционального анализа и двойственности.

Мое первоначальное восприятие математической стороны оптимизационной эконометрики, так же, как и у большинства тех, кто принадлежал школе Л.В., было функционально-аналитическим. Иначе говоря, схема двойственности естественным образом рассматривалась в терминах функционального анализа. Нет сомнений, что ничего более приемлемого с концептуальной точки зрения и нет. Выпуклый анализ, сформировавшийся после 50-х гг. на базе оптимизационных задач, постепенно вобрал в себя значительную часть линейного функционального анализа, равно как и классических результатов выпуклой геометрии. Именно так я строил и свой курс теории экстремальных задач, который читал в течение 20 лет в ЛГУ (с 1973 по 1992) -- он включал в себя общие (бесконечномерные) теоремы отделимости, теорию двойственности линейных пространств и т.п.

Исторически первыми связями теории Л.В. были связи с теорией наилучшего приближения и, в частности, с работами Крейна по L-проблеме моментов. М.Г.Крейн одним из первых обратил внимание на это. Реальные последствия состояли в постепенном осознании того, что методы решения обеих задач по существу схожи. Первый метод решения этих задач восходит еще к Фурье. Позже, в 30-40-х гг. нашего столетия, были выполнены важные работы Моцкиным и украинской школой М.Г.Крейна (в частности, С.И.Зуховицким, Е.Я.Ремезом и др). Однако метод разрешающих множителей и симплекс-метод были новыми для теории наилучшего приближения. Особенно важной с принципиальной точки зрения была сама трактовка задачи чебышевского приближения как полубесконечномерной задачи линейного программирования. Бесконечномерное программирование было также предметом нескольких работ моих учеников на мат-мехе ЛГУ (М.М.Рубинов, В.Темельт) и математиков в Москве (Е.Гольштейн и др).

Теория двойственности линейных пространств с конусом дает естественный язык для задач линейного программирования в пространствах произвольной размерности. Парадоксально, что это уловил Н.Бурбаки, далекий от каких-либо приложений: в своем 5-м томе "Элементов математики", - куда как абстрактный опус!, - если внимательно приглядеться, то в упражнениях можно найти даже теорему об альтернативах для линейных неравенств и ряд фактов, близких к теоремам двойственности линейного программирования. Это и естественно. Теорема Хана-Банаха и теоремы линейной отделимости - фундаментальные теоремы классического линейного функционального анализа - есть чистейший выпуклый геометрический анализ. То же относится и к общей теории двойственности линейных пространств.

Классическая теория линейных неравенств Г.Минковского - Г.Вейля в современной форме появилась в работе Г.Вейля 30-х гг. чуть раньше работ Л.В. - эта связь особенно прозрачна. Теоремы об альтернативах, леммы Фаркаша и т.д., двойственность Фенхеля-Юнга в теории выпуклых функций и множеств - все это объединилось с теорией линейного программирования уже в 50-х гг. Однако, заслуга Л.В., по-видимому, не сразу узнавшего обо всех этих связях, в том, что он нашел единый подход, базирующийся на идеях функционального анализа и вскрывающий идейную суть вопроса. Это одновременно давало и базу для численных методов его решения. Не преувеличивая, можно сказать, что функциональный анализ стал фундаментом всей математической экономики. Огромное число задач выпуклой геометрии и анализа (от теоремы Ляпунова о выпуклости образа до выпуклости в отображении моментов) также связаны с этими идями и их обобщениями.

Ко всему этому примыкают и многие последующие работы по теории линейным неравенствам (Черников, Фан Цзы и др.), по выпуклой геометрии и др, авторы которых не всегда знали о предшествующих результатах; нельзя и сейчас сказать, что весь этот цикл работ подытожен в надлежащем виде.

Б) Линейное программмирование и дискретная математика.

Однако линейное программирование имеет серьезные связи с дискретной математикой и комбинаторикой. Более точно, некоторые задачи линейного программирования являются линеаризацией комбинаторных задач. Примеры: задача о назначениях и теорема Биркгофа-фон Неймана, теорема Форда-Фулкерсона. Эта сторона теории не была замечена у нас сразу и пришла к нам из западной литературы позже. Основную задачу теории матричных игр с нулевой суммой (а именно, теорему о минимаксе) блестяще связал с линейным программированием еще фон Нейман, см. воспоминания Данцига, цитированные в статье А.М.Вершика, А.Н.Колмогорова и Я.Г.Синая "Джон фон Нейман" (Фон Нейман. "Избранные труды по функциональному анализу, т.1" М. "Наука",1987), где Данциг пишет о поразившем его разговоре с фон Нейманом, в котором тот за час изложил связь теории двойственности и теорем о матричных играх и наметил метод решения этих задач.

Эта связь была освоена не сразу, -- я помню, что ленинградские специалисты по теории игр первое время не принимали в расчет, что решение матричной игры с нулевой суммой есть задача линейного программирования, и, несомненно красивый, метод решения игр, принадлежащий Дж. Робинсон, считался чуть ли не единственным численным методом нахождения значения игры. В итоговом доказательстве теоремы фон Неймана о минимаксе (первое доказательство было топологическим и использовало теорему Брауэа) фактически содержалась теория двойственности. Позже эквивалентость игровой задачи и линейного программирования широко использовалась.

Акценты на связь с дискретной математикой и комбинаторикой превалируют в большинстве зарубежных работ первых лет по линейному программированию, в то время как в отечественных работах в первое время более подчеркивалась связь с функциональным и выпуклым анализом и развивались численные методы.

В связи с линейным и выпуклым программированием на первый план из комбинаторных теорий выступает комбинаторная геометрия выпуклых и целочисленных многогранников и комбинаторика симметрической группы. Важными работами первого периода по комбинаторике многогранников была книга Грюнбаума, и статьи Кли и др, а в комбинаторике - работы Дж. Рота и Р.Стенли. Одновременно возникли близкие темы в теории особенностей (многогранники Ньютона), алгебраической геометрии (торические многообразия и целочисленные многогранники) и др. А позже открылись обширные связи с симметрической группой, комбинаторной теорией диаграмм Юнга - одной из основных тем "новой комбинаторики", - а также посетами и матроидами. Интересно, что почти одновременно (и независимо) к ряду близких задач комбинаторики пришел И.М.Гельфанд (матроиды, клетки Шуберта, вторичные многогранники), назвавший комбинаторику математикой ХХI века. Сейчас новые комбинаторные задачи являются ключевыми в разнообразных математических проблемах.

Мой интерес к к линейному программированию в первые годы возник совершенно независимо от моих математических пристрастий тех лет и, в частности, не только потому, что я учился у Л.В. функциональному анализу и слушал его первые захватывающие рассказы о линейном программировании и его применении в экономике. В тот момент (1956-58 гг). это был скорее практический, чем теоретический интерес.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: зимой сочинение, 5 баллов рефераты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата