Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

φ0 и  (4)

Все другие безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0 или вообще из любых величин, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно написать

, (5')

. (5")

Формулы (5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти выводы вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину  можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.

Обозначим через Г какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем

функция f2 представляет собой безразмерную величину, а так как из l, g и m нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция f2 не зависит от l, g и m. Следовательно,

 (6)

Формула (6) устанавливает зависимость времени Г от длины маятника. Получить вид функции f2(φ0) с помощью теории размерности нельзя. Определение f2(φ0) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1), либо экспериментально.

Формулу (6) можно получить непосредственно из соотношений (5'). В самом деле, для периода колебаний соотношение (5') дает

.

Решая это уравнение, получим формулу (6).

Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака φ0, т. е.

f2(φ0)= f2(-φ0).

Следовательно, функция f2 является четной функцией аргумента φ0. Предполагая, что при малых φ0 функция f2(φ0) регулярна, можно написать

f2(φ0) = c1 + c2φ02 + с3φ04 +… (7)

Для малых колебаний члены со степенями φ02 и выше можно отбросить, и для периода Г мы получаем формулу

. (8)

Решение уравнения (1) показывает, что с1 = 2π. Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.

Формулы (5) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмем уравнение

,

где f(φ) есть любая функция угла φ. Вообще справедливость формул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое состоит в том, что состояние движения определяется параметрами

t, l, g, m, φ0.

Для установления этой системы параметров нам послужили уравнения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравнениям движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать l и m. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо указать φ0 и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения φ0 и рассматриваемым моментом времени t.

Истечение тяжелой жидкости через водослив

Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости через водослив (рис. 2), который представляет собой вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симметрично относительно вертикали, причем угол отверстия α равен 90º. Жидкость вытекает под напором h, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника на далеких расстояниях от отверстия водослива. Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. При струйном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести g.

Рис. 2. Перетекание тяжелой жидкости через водослив.

Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следующими параметрами:

ρ, g, h.

Вес жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в единицу времени, может быть функцией только этих параметров

Q = f(ρ, g, h).

С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функции. В самом деле, размерность Q равняется кгс/с. Комбинация  также имеет размерность кгс/с. Поэтому отношение

является безразмерной величиной. Это отношение является функцией величин ρ, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать

или

, (9)

где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зависимость количества протекающей жидкости от напора h и от плотности ρ.

Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами α. В этом случае система определяющих параметров дополняется углом α, и формула (9) примет вид

, (10)

т. е. коэффициент С будет зависеть от угла α.

Если водослив имеет прямоугольную форму шириной b, то система определяющих параметров будет

ρ, g, h, b.

Все безразмерные величины определяются параметром h/b. Формула (9) в этом случае заменится следующей:

. (11)

Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины b, но с постоянным h. Определив таким способом функцию f(h/b), формулу (11) можно применять к случаям постоянной ширины b=const, но с различным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не производился.

Этот пример показывает, что соображения, полученные с помощью метода размерности, могут приносить большую пользу при постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и получать благодаря этому экономию не только в средствах, но и во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах изменением других величин. На основе опытов, произведенных с водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д.

Заключение.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: предмет культурологии, вирусы реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата