Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

dimC(V) = n dimR(V) = 2n (1)

Приведенные простые упражнения хорошо иллюстрируют индуктивный характер математических умозаключений, что особенно важно для студентов, привыкших к дедуктивному изложению математики. Анализируя природу математического творчества, А. Пуанкаре в своей книге "Наука и гипотеза" [6. C.8] пишет следующее: "Какова природа умозаключения в математике? Действительно ли она дедуктивна, как думают обыкновенно? Более глубокий анализ показывает, что это не так, - что в известной мере ей свойственна природа индуктивного умозаключения, и потому-то она столь плодотворна. Но от этого она не теряет своего характера абсолютной строгости..." (Курсив мой - А.Я.) Вопрос о сущности математического творчества оказывается для А. Пуанкаре настолько важным, что он возвращается к нему вновь и вновь в своих последующих книгах "Ценность науки" и "Наука и метод". При этом дедуктивное и индуктивное начала выступают в виде конкретных проявлений деятельности математика - логики и интуиции соответственно. Замечательно, что вопрос о соотношении логики и интуиции разрешен поистине диалектически: "...Интуиция и логика играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства". (С.167) Таким образом, обучая математике, мы должны, наряду с логикой, обучать студентов интуиции, изобретательству, так как в противном случае мы будем обучать их чему-то меньшему, чем математика. Здесь не играют большой роли содержание или важность финального утверждения. Не столь важна также величина логического скачка, приведшего от предварительных задач к финальному утверждению, тем более, что на ранних стадиях обучения она неизбежно будет весьма невелика. Важно, что студент действует самостоятельно; еще важнее, что он получает обобщение, пусть сколь угодно малое. В своей самостоятельной обобщающей деятельности он становится подобен ученому, и у нас есть веские основания считать, что приобретенные навыки исследователя будут использованы им в последующей педагогической деятельности.

В предыдущих упражнениях поле С можно заменить на поля

Если для каждого из них составить упражнения, аналогичные приведенным в таблице, и каждую из полученных групп решить в совокупности, то естественным образом возникают следующие гипотезы: (2,3,4)

Малополезное на первый взгляд тиражирование однотипных заданий дает преподавателю возможность распределить их между микрогруппами студентов, поручить каждой из них сформулировать и доказать обобщающее утверждение, а затем на практических занятиях организовать обмен информацией, полученной в результате личной деятельности. Так проявляется еще одно важное свойство научной работы.

С организационной точки зрения научное сообщество представляет собой весьма сложное образование с разветвленной иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные ученые, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению ученых степеней, ассоциации, национальные академии, международные комитеты. Если посмотреть на все это с точки зрения теории систем, то неизбежно возникает вопрос об условиях успешной работы такой системы. Необходимым и достаточным условием функционирования науки как единого целого является обмен информацией между ее представителями. Без обмена информацией наука в принципе невозможна, и он интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров и других форм общения. Коль скоро в реальном научном мире объективно существует некое явление, оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания. К счастью, у нас "все готово" для такого отражения.

Переменим точку зрения на утверждения (1)-(4) и будем рассматривать их не как обобщающие утверждения, а как некие первоначальные факты. Нетрудно видеть, что в каждом из четырех случаев мы переходим от основного поля к его сужению: C  R, k  Q, k-  Q, k~  Q. Каждый раз при переходе к сужению размерность векторного пространства умножается на некий коэффициент, и каждый раз этот коэффициент равен размерности поля над своим подполем. Четырехкратное повторение любой ситуации, несомненно, является поводом для обсуждения. В нашем случае естественно возникает гипотеза: пусть f- - подполе поля f и V - векторное пространство над f; если dimf(V) = n и dimf- (f) = p, то dimf- (V) = np. Она является обобщением более высокого, по сравнению с предыдущим, уровня, обобщением ранее сделанных обобщений. Тем самым проявляется важная черта математики - иерархичность математических обобщений.

Разумеется, трудно ожидать, что студенты самостоятельно сделают описанные выше наблюдения. Здесь должен вступить в дело преподаватель и дополнить произведенный ранее обмен гипотезами (или теоремами) (1)-(4) организацией обсуждения их как нового, впервые появившегося перед студентами явления.

Приведенные выше упражнения ориентированы не только на потребности математика-профессионала, как это может показаться на первый взгляд, но и на потребности будущего учителя. Рассмотрим, например, поле , которое является расширением поля Q с помощью не принадлежащего ему числаи состоит из чисел вида c рациональными а и b. Числа такого вида постоянно встречаются в школе. Действительно, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет целые коэффициенты и его дискриминант не является точным квадратом, то корни этого уравнения принадлежат расширению поля Q с помощью числa Аналогично, поле - это расширение поля с помощью числа . Не случайно все эти поля присутствуют в учебниках для педвузов, например, в классическом руководстве Л.Я.Окунева [5].

Отступим на время от основной линии нашего изложения ради решения одного частного упражнения: какова размерность векторного пространства над полем ? Для ответа на этот вопрос нужно представить число и рассмотреть его как линейную комбинацию векторов 1 и c коэффициентами Т.о., с технической точки зрения требуется немного - всего лишь школьные правила действий с радикалами, однако применение их отнюдь не просто для студента, так как требует опыта переосмысления школьного материала в контексте линейной алгебры. Именно такие двусторонне ориентированные упражнения и коллекции упражнений особенно ценились американскими коллегами.

Научная работа имеет одно свойство, отражение которого в процессе преподавания крайне желательно, - современность ведущихся исследований. Современность - вольный или невольный атрибут всякого научного исследования, наличие которого не зависит от воли и желания его автора. Причина такого неразрывного единства проста и прозаична: никто не будет печатать научных работ, если в них не изучаются находящиеся в центре внимания объекты исследования, или не вводятся новые, достойные изучения объекты, или не выявляются новые свойства классических объектов и т.д. Кратко говоря, несовременное, в широком смысле, исследование обречено на прекращение. Перед любой системой образования стоит проблема насыщения курсов материалом, который вводит студентов в круг изучаемых наукой проблем. Покажем, как приведенные выше простые примеры могут быть использованы для первоначального знакомства с супералгебрами, вошедшими в математику сравнительно недавно, порядка двадцати лет назад. Начнем с определения.

Пусть - поле классов вычетов по модулю 2. Алгебра Ј называется Z2 - градуированной (или супералгеброй), если она разлагается в прямую сумму подпространств таких, что ЈiЈj  Јi+j , где i, j Z2 .

Cоотношения включения могут быть записаны более подробно:

Покажем, что является супер-алгеброй над Q. Для этого рассмотрим подпространства

Очевидно, что Проверим соотношения включения.

а) Если следовательно,

б) Если

cледовательно,

в) Если

следовательно

Таким образом, действительно является супералгеброй.

С педагогической точки зрения мы вновь имеем многосторонне ориентированное упражнение. Действительно, для его решения нам пришлось применить правила действий с радикалами, и в этом выражается его связь со школой. В то же время оно оперирует с понятием суммы подпространств, которое изучается в педагогических институтах. Наконец, оно несет пропедевтическую нагрузку по отношению к возможным спецкурсам, дипломным работам или обучению в аспирантуре.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: технические рефераты, решебник по физике.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата