Принцип Максимума Понтрягина

| Категория реферата: Остальные рефераты
| Теги реферата: решебник 10 11, шпаргалки по математике
| Добавил(а) на сайт: Воейков.

Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) заменим условием

[pic] и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:

[pic]

Примеры применения принципа максимума.
1. Простейшая задача оптимального быстродействия.
Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом

[pic](3.1) где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию

[pic].
Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные [pic]. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

[pic](3.2)
Начальное положение

[pic] при t0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени
Т не фиксирован.
В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==[-1, 1], f0=1, Ф=0, а функция
Гамильтона имеет вид

[pic]
Общее решение сопряженной системы

[pic][pic] легко выписывается в явном виде [pic] где С, D - постоянные.
Очевидно, что максимум функции Н по и[pic] U достигается при

[pic]
Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения
+1 .
2.Определить управление u(t) , которое дает минимум интегралу

[pic], в процессе, описываемом уравнением [pic](1).

Решение.

Введем дополнительную переменную

[pic](2)

Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение [pic]([pic] (3) с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x2(T).

Построим функцию Гамильтона

[pic]

Запишем сопряженную систему [pic] (3)

Запишем [pic]

?1(Т)=0 (т.к. с1=0)

?2(Т)=-1
Из [pic]поэтому ?2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=- a?1x1+?1u-0,5x12-0,5u2 .

По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и ?1 достигает максимума по u : [pic], [pic], откуда [pic].
Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии [pic] , ?2(Т)=-1,

[pic], [pic] с граничными условиями [pic]

Сведем данную систему к одному уравнению относительно U.