Принцип Максимума Понтрягина

| Категория реферата: Остальные рефераты
| Теги реферата: решебник 10 11, шпаргалки по математике
| Добавил(а) на сайт: Воейков.

Запишем сопряженную систему [pic] (3)

Запишем [pic]

?1(Т)=0 (т.к. с1=0)

?2(Т)=-1
Из [pic]поэтому ?2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=- a?1x1+?1u-0,5x12-0,5u2 .

По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и ?1 достигает максимума по u : [pic], [pic], откуда [pic].
Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии [pic] , ?2(Т)=-1,

[pic], [pic] с граничными условиями [pic]

Сведем данную систему к одному уравнению относительно U.

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Добавим к этому уравнению граничные условия [pic] и решим его. Составим характеристическое уравнение к2 - (а2+1) =0, к1,2=+(-)[pic]

[pic]

Найдем С1 и С2. [pic] С2=-с2е[pic]. Тогда [pic]

Используя граничные условия найдем С2[pic]

Таким образом, определено оптимальное решение

[pic]

О методах решения задач оптимального управления
Убедимся вначале, что необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума дают, вообще говоря, достаточную информацию для решения задачи оптимального управления (2.1), (2.2).
Условие максимума (2.4) позволяет, в принципе, найти управление и как функцию параметров х, t, [pic]
[pic](2.7)
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
[pic](2.8) объединяющюю систему уравнений движения объекта и сопряженную систему.
Как известно, общее решение системы (2.8), состоящей из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависит от 2п параметров. Кроме того, система необходимых условий оптимальности содержит т параметров[pic] и параметр ?0. Таким образом, общее число неизвестных равно 2n+m+1.
Для их определения мы имеем 2п условий (2.5), (2.6) и т условий (2.2). Еще одно условие определяется из следующих соображений.
Легко понять, что, в силу линейности функции Н по переменным принцип максимума Понтрягина определяет вектор ([pic]) с точностью до положительного постоянного множителя. Поэтому если в конкретной задаче удается показать, что [pic], то полагают обычно [pic] == - 1. В противном случае накладывают какое-либо условие нормировки, например, [pic]
Таким образом, общее число условий равно 2n+m+1 и совпадает с числом неизвестных параметров, что, в принципе, позволяет определить эти параметры. Изложенные соображения дают возможность в простейших случаях решить задачу оптимального управления в явном виде.
Опишем численный метод, основанный на тех же соображениях. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2.8) с краевыми условиями (2.5), (2.6), а также выписанными на основе (2.2) краевыми условиями
[pic](2.9)
Эта задача называется краевой задачей принципа максимума.
Задав произвольные начальные условия[pic]и решив каким-либо численным методом задачу Коши для системы (2.8), можно найти х(Т),[pic](Т). При этом на каждом шаге численного интегрирования значение [pic] находится из решения вспомогательной оптимизационной задачи (2.7) (считаем, что параметр [pic] задан и равен либо 0, либо -1).
Значения х (Г), [pic] являются очевидно, некоторыми функциями от а и Ь:
[pic]). Решение краевой задачи принципа максимума сводится, таким образом, к решению полученной из (2.9), (2.5), (2.6) системы уравнений
[pic]
[pic]
[pic]
Эта система содержит 2п+т неизвестных а, Ь,[pic]и состоит из 2п+т уравнений. Ее решение можно находить известными численными методами, например методом Ньютона.
Отметим, что вычисление значений [pic]весьма трудоемко, так как требует при каждом (а, b) решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
(2.8). Именно в таких случаях особое значение приобретает изучение вопросов эффективности численных методов и построения оптимальных методов .
При реализации на ЭВМ методов решения задач оптимального управления, основанных на необходимых условиях экстремума, могут встретиться также значительные трудности, вызванные некорректностью постановки исходной и вспомогательных задач и некоторыми особенностями краевой задачи принципа максимума. Это приводит к необходимости применения методов регуляризации, учета специфики конкретной решаемой задачи, ее физического смысла и т. п.
Другие численные методы, не связанные непосредственно с принципом максимума, основаны на редукции исходной задачи к некоторой конечномерной задаче математического программирования. Их называют иногда прямыми методами (впрочем, разделение вычислительных методов на прямые и непрямые довольно условно). Конечномерные аналоги задач оптимального управления имеют особенности, позволяющие эффективно применять некоторые методы нелинейного, динамического программирования и т. д]. Продемонстрируем пример такого подхода.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления
[pic][pic]
[pic] где моменты времени[pic], Т фиксированы. Это задача более общего вида, чем
(2.1), ибо в (2.10) U зависит от времени и имеются фазовые ограничения произвольного вида, которые, в частности, могут содержать ограничения на концах траектории вида (2.2).
Зафиксируем моменты времени [pic] и заменим задачу (2.10) ее конечноразностным аналогом
[pic]
[pic]
Положив [pic] задачу можно переписать в виде [pic] (2.11)
[pic]
Мы получили задачу математического программирования с переменными [pic]
Задав начальное состояние х0 и управление (u0, u1, ..., uN-1), по формулам [pic] легко вычислить траекторию ( х1, ..., хN). Тем самым (2.12) сводится к задаче с переменными х0, u0 , u1, ..., uN-1, и ее размерность, таким образом, оказывается равной n+Nr.
Для решения задачи (2.11) часто применяют метод динамического программирования. В данном случае этот метод выглядит следующим образом.
Ввелем функцию [pic]где минимум берется по таким [pic]что[pic](будем предполагать, что все фигурирующие здесь и ниже минимумы достигаются). Если множество таких наборов (uк, ..., uN-1) пусто, то значение [pic]) не определено. Нетрудно видеть, что [pic] (2.12) где минимум берется по таким [pic], что значение [pic] определено.
Положив [pic] и проводя вычисления по формулам (2.12) при k=N-1,N-2,...,0 можно найти решение задачи (2.11).
Действительно, пусть [pic]- значение управления, реализующее минимум в
(2.12). Ясно, что значение задачи (2.11) , т.е. минимальное значение минимизирующей функции, равно [pic], где минимум берется по таким [pic], что значение [pic] определено. Оптимальное управление и оптимальная траектория находятся, очевидно, по формулам
[pic](2.13)
При численной реализации данного метода задаются сеточные аппроксимации множеств [pic]т.е. некоторые конечные множества [pic]Затем строятся множества [pic], которые служат сеточными аппроксимациями интересующих нас подмножеств [pic]
Далее по формулам (2.12) вычисляются значения [pic]для [pic][pic]и т.д., причем при каждом k минимум в (2.12) берется по [pic] После того как приближенно найдена точка [pic], минимизирующая [pic] решение задачи определяется формулами (2.13).

Заключение:
Отметим, что дискретные задачи оптимального управления встречаются на практике ( например, при описании импульсных систем) и потому представляют интерес не только как конечноразностные аналоги непрерывных задач.
Задачи оптимизации управляемых процессов, или как они будут в дальнейшем называться, задачи оптимального управления, составляют один из широких классов экстремальных задач и имеют важное прикладное значение.
Структурная схема задачи управления состоит из двух звеньев: управляющего органа и объекта управления . В качестве объекта управления может служить, например, космический эксперимент, экономика отрасли промышленности, система машин, семейный бюджет и т. д. Управляющее звено со времени возникновения задач управления претерпело эволюции от простейшего регулятора до современной ЭВМ.

Кыргызско - Российская Академия образования

Доклад

По дисциплине:

ТУТС

Тема: Принцип максимума Понтрягина.