Решение задач транспортного типа методом потенциалов

| Категория реферата: Рефераты по статистике
| Теги реферата: реферат мировой, оформление титульный реферата
| Добавил(а) на сайт: Kojtasbaev.

Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор, пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле) заменяют одну свободную переменную на базисную, то есть заполняют одну свободную клетку и взамен того освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остаётся неизменным и равным m + n - 1 . Этот метод удобен тем, что для него легче находить подходящие циклы.

Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).

Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу.

Распределительный метод решения транспортной задачи, с которым мы познакомились, обладает одним недостатком: нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. От этой трудоёмкой работы нас избавляет специальный метод решения транспортной задачи, который называется методом потенциалов.

5. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Этот метод позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены.

Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Стоимость перевозки единицы груза из Ai в Bj равна C ij ; таблица стоимостей задана. Требуется найти план перевозок xij, который удовлетворял бы балансовым условиям и при этом стоимость всех перевозок бала минимальна.

Идея метода потенциалов для решения транспортной задачи сводиться к следующему. Представим себе что каждый из пунктов отправления Ai вносит за перевозку единицы груза (всё равно куда) какую-то сумму (i ; в свою очередь каждый из пунктов назначения
Bj также вносит за перевозку груза (куда угодно) сумму (j . Эти платежи передаются некоторому третьему лицу (“перевозчику“). Обозначим (i
+ (j = (ij ( i=1..m ;j=1..n) и будем называть величину (ij
“псевдостоимостью” перевозки единицы груза из Ai в Bj. Заметим, что платежи (i и (j не обязательно должны быть положительными; не исключено, что “перевозчик” сам платит тому или другому пункту какую-то премию за перевозку. Также надо отметить, что суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах ((i и (j ) одна и та же и от плана к плану не меняется.

До сих пор мы никак не связывали платежи ((i и (j) и псевдостоимости (ij с истинными стоимостями перевозок C ij. Теперь мы установим между ними связь. Предположим, что план xij невырожденный (число базисных клеток в таблице перевозок ровно m + n -1). Для всех этих клеток xij >0. Определим платежи ((i и (j) так, чтобы во всех базисных клетках псевдостоимости были ровны стоимостям:

(ij = (i + (j = сij , при xij >0.

Что касается свободных клеток (где xij = 0), то в них соотношение между псевдостоимостями и стоимостями может быть, какое угодно.

Оказывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостями в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Существует специальная теорема: Если для всех базисных клеток плана xij > 0,

(i + (j = (ij= сij , а для всех свободных клеток xij =0,

(i + (j = (ij( сij , то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может. Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. План обладающий свойством :

(ij= сij (для всех базисных клеток ) (1)

(ij( сij ( для всех свободных клеток ) (2) называется потенциальным планом, а соответствующие ему платежи ((i и (j ) — потенциалами пунктов Ai и Bj ( i=1,...,m ; j=1,...,n ).
Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так:

Всякий потенциальный план является оптимальным.

Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - построить потенциальный план. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию (1). При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке; затем, улучшая план следует одновременно менять систему платежей. Так, что они приближаются к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей ((i и (j ) удовлетворяющая условию (1), для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке : (i,j= сi,j - (i,j.

Таким образом, при пользовании методом потенциалов для решения транспортной задачи отпадает наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой.