Глава Математическое моделирование системных элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес- твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи- лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис- тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи- чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 -
1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

1.1. Три этапа математизации знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма- тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе- номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна- лами (входами [pic]) и выходными реакциями (откликами [pic]) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами [pic]. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные.
Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели.

Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре- тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати- ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле- вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и модель

Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна- вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема- тических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе- ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции
[pic], в зависимости от параметров объекта-оригинала [pic], входных воздей-

ствий [pic], начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства
(атрибуты) объекта-оригинала [pic], которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования.
Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала [pic] с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес- кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя- ми.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю- щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами
("грамматика" и "синтак- сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес- ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи- ческой моделью.

Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.

1.3. Интерпретации в математическом моделировании

Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолко- вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким- либо об- разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво- лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положе- ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход- ные положения которой определяются независимо от формальной системы.
Следова- тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. ус- тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор- мальной системы получают подтверждение в содержательной системе.
Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото- рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша- ется, имеет место частичная интерпретация.

При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе- ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.

Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер- претации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информа- ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон- кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе- мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна- ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об- ластью значений интерпретации.

Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола- гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели- рования.

Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам
(компонентам) ма- тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек- та.

1.4. Виды и уровни интерпретаций