Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям и оказались достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями j =1,2,..., n , где  Î (0, ¥ ) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e (  ) ³ 0,  Î (0, ¥ ), далее называемой излучением, образуют вектор , w = . Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов ,  Î (0, ¥ ), и соответствующий суммарный сигнал назовем яркостью излучения e . Вектор назовем цветом излучения e . Если цвет e  и само излучение назовем черным . Поскольку равенства и эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e назовем белым и его цвет обозначим если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы , и , , удобно считать элементами n -мерного линейного пространства . Векторы f _e , соответствующие различным излучениям e , содержатся в конусе . Концы векторов содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .

Далее предполагается, что всякое излучение , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями все их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому векторы в образуют выпуклый конус , а векторы .

Если то и их аддитивная смесь . Для нее

. (1)

Отсюда следует

Лемма 1. Яркость f _e и цвет j _e любой аддитивной смеси e  излучений e ₁ ( × ),...,e _m ( × ) , m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых .

Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e  и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e  на в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w  таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j =1,..., n , линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными , , j =1,..., n . В таком случае излучение характеризуется лишь цветом , j =1,..., n .

Для всякого излучения e  можно записать разложение

в котором - координаты в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i- го детектора, отвечающий j- ому излучению e _j ( × ), i , j =1,..., n . Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны и , j =1,..., n. При этом яркость и вектор цвета , , j =1,..., n , (конец которого лежит в Ï) определяются координатами a _j и цветами излучений , j =1,..., n , и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e .

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a _j <0, физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами - a _j >0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i , j =1,..., n .

Лемма 2. В разложении (1*) , j=1,...,n , . Яркость , где , причем вектор  ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов были координатами f _e в некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , .

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R ₂ , или на сетке , спектральная чувствительность j -го детектора излучения, расположенного в точке ; - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

Точнее, пусть Х - поле зрения, ( Х , С , ) - измеримое пространство Х с мерой  C - s -алгебра подмножеств X . Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством

  , (2)

в котором почти для всех , , - m -измеримые функции на поле зрения X , такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций . Класс цветных изображений обозначим L _E , _n .

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент называется цветным изображением, а условие

условием физичности изображений f ( × ).

- постоянный цвет , если и только если в (3) ;

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A _i , i=1,...,N, поля зрения X .

Итак, пусть в согласии с леммой 3

, (5)

где, - индикаторная функция A _i , , функция g _i  задает распределение яркости

(6)

в пределах A _i при постоянном цвете

, i=1,...,N , (7)

причем для изображения (5) цвета j _(i) , i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g _(i) , i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A _i задается функцией а цвет на A _i равен

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

(8)

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A _i , i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f () (5), поскольку в изображении на некоторых различных подмножествах A _i , i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f () (5). Совпадение цвета на различных подмножествах A _i , i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f() (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных A _i , i=1,...,N , считаются изоморфными f  и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f  . Если , то, очевидно, .

Если в (8) яркость , то цвет на A _i считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на A _i считается равным цвету на , i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на A _i , i=1,...,N , тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на A _i определяется равным цвету f  на A _i , i=1,...,N ).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f  в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете j ( x ) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x) ¹ 0, m -почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму

в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторы и определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом и различна для разных ,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2]. Дело в том, что оператор определяет форму изображения (4), а именно

- множество собственных функций оператора . Поскольку f( × ) - наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - . Поэтому проектор можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a( × )

и m -почти для всех [ ]. n

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

где .

Пусть A ₁ ,...,A _N - заданное разбиение X , - индикаторная функция A _i , i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A ₁ ,...,A _N поля зрения X , (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по достигается при

и равен

Задача (18) тем самым сведена к задаче

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в R _n , как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y _i оператора Ф _i , отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A ₁ ,...,A _N -заданное измеримое разбиение X, причем (A _i )>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g ( × ) (17) является изображение

Операторы , i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f ( × ) ) проекторы: П _i проецирует в R _n векторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Ф _i (23), отвечающий наибольшему собственному значению  _i ,

П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

Доказательство. Равентство (24) и выражение для П _i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф _i (23). Поскольку Ф _i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф _i неотрицательны и среди них  _i - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов П _i , i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f ( × ):

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П _i , i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть f _i - cсобственный вектор Ф _i , отвечающий максимальному собственному значению  _i . Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора :

.

Поскольку rank =1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно  _i , и ему соответствует единственный собственный вектор f _i . Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для n