Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

где
|[pic] |(1.4.5’) |

a [pic] — функция, линейная относительно и’( , u’( , u .

Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных
|[pic] | |

подобрав функции ( и ( так, чтобы они являлись решениями уравнения:
|[pic] |(1.4.6) |

Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.

Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
|[pic] |(1.4.7) |

было общим интегралом уравнения
|[pic] |(1.4.8) |

в той же области G.

Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения
(1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).

В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:
|[pic] | |

действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.

Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
|[pic] | |

обозначим каждое из этих отношений через (; тогда
|[pic] | |

Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8), получим:
|[pic] | |

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство
|[pic] | |

откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения
(1.4.8).

Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x0,y0).

Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).

Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку: f(x, у) = k0.

Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство
|[pic] | |

откуда
|[pic] |(1.4.10) |

Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:
|[pic] | |

или, после сокращения на (2:
|[pic] | |

В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
|[pic] | |

Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y0) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответ ру, курсовая работа по менеджменту.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата