Изучение свободных колебаний и

измерение ускорения сободного падения

Цель работы : изучение свободных колебаний математического маятника и физического маятника (оборотного маятника Кэтера) и определение ускорения свободного падения .

Оборудование : комбинированная лабораторная установка , масштабная линейка
, секундомер.

1.Теоретическая часть.

1. Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания- колебания, при которых физическая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:
1) колебания, встречающиеся в природе и технике, частно имеют характер, близкий к гармоническому;
2) различные виды колебаний можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнением типа x(t)=A cos(?0t+?0)

(1a) или x(t)=A sin(?0t+?0),

(1б) где x(t)- мгновенное значение колеблющейся величины в момент времени t, называемое отклонением, A- максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебаний, ?0- круговая (циклическая) частота свободных колебаний и ? ’ (?0 + ?0) - фаза колебаний в момент времени t, ?0
- начальная фаза колебаний. Фаза характерезует мгновенное состояние колебательной системы и определяется отклонением или смещением x и величиной времени t. Так как косинус и синус изменяются в пределах от +1 до
–1, то x может принимать значения от +A до –A. Определение состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T, называемый периодом колебания. За промежуток времени T фаза колебания получает приращение 2П, т.е. (?0(t+T)+?0))-(?0t+?0) ’ 2П. Откуда

T = 2П/?0.

(2)
Величина, обратная периоду колебаний: v = 1/T,

(3) определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, и называется частотой колебаний. Сравнивая (2)и(3), получим

?0 ’ 2Пv.

(4)
Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается одно полное колебание.

Первая и вторая производные отклонения x(t) (скорость v и ускорение a) также изменяются по гармоническому закону :

dx/dt = v(t) =-A?0sin(?0t+?0) ’ “?0cos(?0t+?0+?/2) (5a)

(5б) т.е. имеет гармонические колебания, происходящие с той же циклической частотой. Амплитуда величин (5а) и (5б), соответственно, равны A?0 и A?0.
Фаза колебаний ускорения (5а) отличается от фазы колебаний самой величины
(1а) на П/2, а фаза колебаний ускорения (5б)- на П. Следовательно, в момент времени , когда x=0, v=dx/dt приобретает наибольшие положительное или отрицательное значения. Когда x достигает “-“ или “+” max значения, величина a=dx/dt приобретает соответственно “+” или “-“ наибольшее значение.

Из (5б) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

где учтено, что x=Acos(?0t+?0). Решением уравнения (6) и является выражение
(1).

1.2 Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль координат X около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты x от времени t задается ур-ем (1а): x(t)= Acos(?0t+?0). Согласно выражениям (5а) и (5б) скорость v(t) и ускорение a(t) колеблющейся точки соответственно равны: v(t)=A ?0 cos(?0t+?0+?/2), a(t)=A?0 cos(?0t+?0+?).
Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом выражений для x(t) и a(t) равна

F=-m ?0 x.