Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Окружим поверхность сферой радиусом R. Площадь сферы 4pR.

Поток вектора напряженности через эту сферу численно равен количеству силовых линий, проходящих через нее. Силовые линии перпендикулярны поверхности сферы, cos(SE)=1 и, значит, их число равно произведению площади сферы на напряженность поля на поверхности сферы:

ФЕ = (4pR2 ) (1/4pe0 ) (Q/R2 ) = Q/ e0

(15.7)

Если вместо сферической, мы возьмем произвольную замкнутую поверхность, через нее будет проходить столько же силовых линий, сколько и через сферу. В силу принципа суперпозиции теорема применима и к произвольному числу зарядов внутри поверхности. Чтобы найти поток вектора напряженности при произвольном числе зарядов внутри поверхности, надо просуммировать заряды внутри ее. Другими словами: Поток вектора напряженности через произвольную поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на диэлектрическую проницаемость вакуума.

Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физический смысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Если внутри рассматриваемой поверхности зарядов нет, то число входящих в нее силовых линий равно числу выходящих и суммарный поток вектора напряженности равен нулю.

Эта теорема используется в электростатике для решения многих задач. Рассмотрим, как с ее помощью определить напряженность электрического поля вблизи равномерно заряженной поверхности. Пусть у нас есть бесконечно большая равномерно заряженная плоскость. Если заряды положительны, то силовые линии выходят из плоскости и расположены перпендикулярно ей

(см.рис.15.2).

Рис.15.2

Обозначим через s=q/s поверхностную плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу площади. Выделим на плоскости окружность Ds и построим на ней как на основании два цилиндра по обе стороны поверхности. Высота цилиндров равна r. Боковые стенки цилиндров перпендикулярны поверхности и совпадают с линиями напряженности электрического поля. Значит поток вектора напряженности через них равен нулю. Применим теперь к цилиндру теорему Остроградского-Гаусса. Полный поток вектора напряженности электрического поля равен: ФЕ =

Q/e0=sDs /e0 . С другой стороны, чтобы найти его, надо просуммировать потоки вектора напряженности через все стенки цилиндра. Черезбоковые стенки он равен нулю. Поток вектора напряженности через торцевые стенки равен: Е Ds = s Ds/e0 .

Отсюда находим, что напряженность поля не зависит от расстояния до поверхности и равна : E = s/e0 .

Эту же задачу можно, в принципе, решить, используя формулу

15.6. Но, для решения задачи с ее помощью потребовалось бы применение раздела высшей математики, связанного с векторным анализом и поверхностными интегралами.

Электростатическое и гравитационное поле являются полями центральных сил, т.е. сил, величина которых зависит только от расстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль линии, соединяющей тела. Такие поля являются полями консервативных сил . Покажем это на примере гравитационного поля вблизи поверхности Земли. Силовые линии гравитационного поля вблизи поверхности Земли параллельны друг другу. Найдем работу, совершаемую при перемещении тела, массой m из точки 1 в точку 2 (см. рис. 15.3).

Рис.15.3

Расстояние между точками будем считать пренебрежимо малым по сравнению с расстоянием до центра земли. В этом случае сила тяготения одинакова во всех точках траектории ,равна весу тела

Р и направлена вертикально вниз: F = P =mg = m (g M / R 2 ) e, где R радиус Земли, e -единичный вектор e= -r/r.

Направим ось координат OZ вдоль силовых линий гравитационного поля вертикально вниз. По определению, работа, совершаемая при перемещении тела массой m из точки 1 в точку 2

, ( где точка 1 расположена на высоте H1 , а точка 2 на высоте H2 )равна:

A12 = F dr = F dr cos(Fdr) = F dZ = F(H1-

H2)=P(H1-H2) (15.8).

Работа не зависит от траектории пути, а определяется начальным и конечным положением тела. Тем самым мы доказали, что рассматриваемые поля являются полями консервативных сил.

Работа этих полей на замкнутой траектории равна нулю.

Для поля консервативных сил можно ввести потенциальную энергию. В каждой точке поля консервативных сил она равна работе, которую нужно затратить на перемещение тела из бесконечности в данную точку. В случае электрического поля перемещаемым телом является заряд. При описании электрических полей вместо потенциальной энергии точки чаще используют понятие потенциала в точке r : j(r) . Потенциал определяется как отношение потенциальной энергии (Eпот) заряда q в точке к величине самого заряда: j(r) = Eпот(r) / q =Ar /q

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сообщение, физика и техника.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата