Общая гидродинамика

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: доклад по обж, реферат по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Bel'tjukov.

[pic] (19)
Здесь [pic]- единичный тензор, [pic] и [pic] - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем [pic]. Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление
[pic]. Значение [pic] выражается через первый инвариант тензора [pic]:

[pic]
Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением

[pic]

Равенство (19) означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правой частях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим с помощью формул (12), (18):

[pic]

Отсюда находим

[pic]

Выразим теперь [pic] через давление [pic],

[pic] тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):

[pic] (20)

Величина [pic] называется коэффициентом динамической вязкости, а
[pic] - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении.
Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения
[pic], [pic], [pic], в котором возникает сила трения

[pic]
Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

Коэффициент [pic] характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

Коэффициенты [pic], [pic] всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с [pic] используется коэффициент кинематической вязкости [pic]. Значения [pic] заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение [pic], тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

[pic] (21)
Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

[pic] (22)

Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

[pic] (23) с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

[pic] (24)
Если жидкость несжимаемая и [pic] = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

[pic] (25)
Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.;
С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон
Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить [pic] из уравнения энергии:

[pic] (26)
Входящая в это равенство функция [pic] называется диссипативной функцией.
Очевидно, [pic] при [pic].

Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

[pic] (27)