Общая гидродинамика

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: доклад по обж, реферат по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Bel'tjukov.

[pic] (11)
Отсюда следует, что величины [pic] не изменяются при замене осей координат.
Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений: линейный [pic], квадратичный [pic], кубический [pic]. Их можно выразить через коэффициенты
[pic] или через корни уравнения (11):

[pic] (12)

Тензор скоростей деформаций. Выберем малую частицу жидкости и точку
[pic], принадлежащую этой частице. Для любой точки [pic], бесконечно близкой к [pic], можно записать разложение Тейлора в линейном приближении

[pic] (13)
Здесь [pic]- координаты точки [pic] относительно точки [pic], так что

[pic]
Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов

[pic]

Тогда (13) можно переписать следующим образом:

[pic]
Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору [pic] ставит в соответствие вектор [pic]. Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица [pic] определяет тензор.

Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

[pic] (14)
В силу линейности (13) по [pic] функция [pic] должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:

[pic]

Спроектируем (14) на оси координат:

[pic] (15)
Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы [pic] и проекции векторов [pic]:

[pic] (16)
Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14).
Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем [pic], где
[pic]- скорость полюса [pic] - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через [pic]. Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса [pic], скорости [pic] этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс [pic], скорости деформации [pic]. Угловая скорость вращения частицы равна

[pic] скорость деформации частицы

[pic]
На основании соотношений (16) тензор [pic] можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

[pic] (17)

Симметричный тензор [pic] определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма [pic]. Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси [pic], в которых квадратичная форма принимает простейшую форму

[pic]
Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации [pic] находятся как корни векового уравнения

[pic]

Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный
[pic], квадратичный [pic], кубический [pic]. В частности, для линейного инварианта имеем выражения

[pic] (18)

Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры [pic] и [pic] характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:
1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;
2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;
3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами [pic] и [pic], удовлетворяющий этим условиям, есть