Министерство образования Украины

Донбасский горно-металлургический институт

Кафедра Общей и прикладной физики

Курсовая работа

на тему:

Теорема Нётер

выполнил: студент группы ПФ-99

Антропов Иван Иванович

руководитель: доцент кафедры ОПФ

Мурга В.В.

Алчевск 2001

Содержание
Введение 3
1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы
Нётер. 4
2. Доказательство теоремы Нётер 6
3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер 11
Вывод 12
Список использованной литературы

Введение

Всякое равенство вида [pic] называется интегралом движения. Для замкнутой системы с n степенями свободы всего существует [pic] независимых интегралов движения. Если считать [pic] в уравнениях движения новыми переменными, не зависящими от [pic], то полный набор уравнений движения запишется в виде

[pic], (1) причем для замкнутой системы время здесь войдет только в виде явно выписанных дифференциалов. Поэтому исключая из этих уравнений dt, мы получим [pic] уравнений, не содержащих времени. Их интегрирование приведет к [pic] интегралам движения.

1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы
Нётер.

Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой.
Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I и II, единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система (I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем [pic], то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем:

[pic]. (2)

Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит l параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование l законов сохранения.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

2. Доказательство теоремы Нётер

Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

[pic]. (3)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида
[pic], а также и относительно более общих преобразований