Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic]. (2.12)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t, определяется интегралом

[pic]. (2.13)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.

2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:
. внутренние источники теплоты отсутствуют;
. среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;
. используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами [pic] (рисунок
2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей [pic]. Через площадку [pic] за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

[pic] (2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

[pic], (2.15)

где [pic] — температура второй грани, а величина [pic] определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

[pic]. (2.16)

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

[pic]. (2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

[pic], (2.18)

а в направлении оси x:

[pic]. (2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

[pic]. (2.20)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

[pic], (2.21)

где [pic] — объем параллелепипеда;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная работа 1, контрольные 7 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата