Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны ( определяется выбором начал отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы ( была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

( ( t - x/v ) + ( = const
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим откуда

Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

( = a cos [ ( ( t + x/v ) + ( ]

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде
(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание
(2.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

( = a cos ( (t + kx + ( )
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от
(2.8) только знаком при члене kx.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a
= a0 e–?x. Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:

( = a0 e–?x cos ( (t + kx + ( )
(a0 – амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна (t + (. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

( ( t – r/ v ) = (t – kr + (
(чтобы пройти путь r, волне требуется время ? = r/v). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r.
Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

( = cos ( (t + kx + ( ) где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно добавить множитель e–?x.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность.
Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат x, y, z углы ?, ?, ?. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид

( = a cos ( (t + ( )

Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время ? =l/v:
( = a cos [ (( t - ) + ( ] = a cos ( (t - kl + ( ).
(k = ?/v; см. формулу (2.7)).

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l: nr = r cos ?= l.
Заменим в (3.2) l через nr:

( = a cos ( (t - knr + ( )

Вектор k = kn,

равный по модулю волновому числу k = 2?/? и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

( ( r, t ) = a cos ( (t - kr + ( )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель e–?l = e–? nr.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: bestreferat ru, пример дипломной работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата