Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом- вектором r в момент времени l (r определяет равновесное положение точки).
Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное произведение kr через компоненты векторов по координатным осям: kr = kxx + kyy + kzz.
Тогда уравнение плоской волны примет вид

( (x, y, z, t ) = a cos ( (t - kxx – kyy – kzz + ( )
Здесь
Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в момент времени t. В случае, когда n совпадает с ex, kx = k, ky = kz = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись уравнения плоской волны в виде

( = Re aei (?t-kr+?)
Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число в = aei?, которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в виде

( = вei (?t-kr)
Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложение производных по координатам дает

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k2/?2 через 1/v2
(см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

где ? – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (3.6), но и любая функция вида

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ?, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приводит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить v=?/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна.
Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой ?x
(рис. 5.1). Смещения ? частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ? в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ?, то смещение основания с координатой x+?x будет ?+??.
Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение
(алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что
? меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинаковой. Чтобы получить деформацию ? в сечении х, нужно устремить ?x к нулю. Таким образом,

(символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения ?, при малых деформациях пропорционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация , а следовательно, и напряжение ? в фиксированный момент времени зависят от х
(рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая ?x очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра равна ?S?x, где ? – плотность недеформированной среды. Проекция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечениях (x+?x+?+??) и (x+?):

Значение производной в сечении x+? можно для малых ? представить с большой точностью в виде

где под подразумевается значение второй частной производной ? по х в сечении х.

Ввиду малосги величин ?x, ? и ?? произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: bestreferat ru, пример дипломной работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата