Теория массового обслуживания с ожиданием

| Категория реферата: Рефераты по информатике, программированию
| Теги реферата: банк курсовых работ бесплатно, доклад
| Добавил(а) на сайт: Venceslava.

( ( m (14) то при этом положении находим равенство

[pic] (15)

Если условие (14) не выполнено, т.е. если ( ( m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k (
1 оказывается Pk =0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при ( ( m с течением времени очередь стремится к ( по вероятности.

4. Некоторые подготовительные результаты.

Во введении мы уже говорили, что для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой (. Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P(( ( t( вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk(( ( t( вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P(( ( t(=[pic]. (16)

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.
Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1

P0=1-(, (17) а при m=2

[pic] (18)

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

[pic] (19)

Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:

(=(, (20) при m=2

[pic] (21)

Напомним, что в формуле (19) ( может принимать любое значение от 0 до m (включительно). Так что в формуле (20) ( ( (, а в (21) ( ( 2.

5. определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно требований. Ясно, что k ( m имеет место равенство

[pic]

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания
(т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

[pic]

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия
- стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены.
Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна
(это можно показать и простым подсчетом)

[pic]

Итак,

[pic] и, следовательно,