Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата



3.9 Схема решения относительно a и t

Это скалярное произведение равно:

h = u * [VT] = s * [VT] + td * [VT] + ag * [VT] >0 0 £ t £ 1, a ³

Если все компоненты h неотрицательны для некоторых t и a, отрезок при этих значениях t экранируется данным телом. Обозначим

p = s * [VT]

q = d * [VT]

w = g * [VT]

запишем условия в виде

hj = pj + tqj + awj 0 £ t £ 1, a ³

где j - номер столбца в матрице тела. Эти условия должны выполняться при всех значениях j, т. е. для всех плоскостей, ограничивающих объем тела. Пограничный случай между видимостью и невидимостью возникает, когда hj = 0. При hj = 0 точка лежит на плоскости. Полагая hj = 0 для всех плоскостей, мы получим систему уравнений относительно a и t, которые должны удовлетворяться одновременно. Результат можно получить путем совместного решения всевозможных пар уравнений из этой системы, при этом будут найдены все значения a и t, при которых изменяется значение видимости отрезка. Схема решения показана на рис. 3.10. Число возможных решений при j уравнениях (плоскостях) равно j(j - 1)/2. Каждое решение в диапазонах 0 £ t £ 1, a ³ 0, подставляется во все остальные уравнения для проверки того, что условие hj ³ 0 выполнено. Поиск корректных решений производится для того, чтобы найти минимальное среди максимальных значений параметра t(tminmax) и максимальное среди минимальных значений t(tmaxmin). Отрезок невидим при (tmaxmin) < t < (tminmax). Последнее требование является простым следствием из классической задачи линейного программирования.

Решение на границе a = 0 возникает в случае протыкания (объектов).

Один из приемов заключается в запоминании всех точек протыкания и в добавлении к сцене отрезков, связывающих эти точки. Отрезки образуются путем соединения каждой точки протыкания пары тел, связанных отношением протыкания, со всеми остальными точками протыкания для этой пары объектов. Затем проверяется экранирование этих отрезков данными телами. Видимые отрезки образуют структуру протыкания.

Из практики известно, что решения удовлетворяющие неравенствам hj > 0, могут существовать и за пределами области, ограниченной условиями 0 £ t £ 1 и a = 0. Поэтому три уравнения, описывающие эти границы, т.е. t = 0, t - 1 = 0 и a = 0, нужно добавить к множеству уравнений hj = 0. Теперьчисло решений равно (j + 2)(j + 3)/2, где j - количество плоскостей, ограничивающих выпуклый объем тела.

Как упоминалось ранее, выбор максимального из минимального и минимального из максимальных значений t среди возможных корректных решений указанной системы уравнений является простой задачей линейного программирования. Ее решение эквивалентно определению корректной ограниченной области, получающейся в результате графического решения. Предполагается, что этот алгоритм используется только для таких отрезков, о которых известно, что они частично или полностью невидимы. Все нелицевые и все полностью видимые отрезки выявлены и удалены до начала работы алгоритма. Алгоритм начинает работу с такими значениями t и a, которые являются решениями пары линейных уравнений с номерами е1 и е2, а также с tmin и tmax (текущими минимальным и максимальным значениями t) и с n (мощностью множества уравнений). На первом этапе алгоритма проверяется выполнение условий hj > 0. Если эти условия выполнены, то на втором этапе вычисляются значения tmin и tmax. Результатом являются значения tmaxmin и tminmax.

Метод решения, обсуждавшийся выше, требует больших затрат машинного времени. Поэтому стоит поискать более быстрые способы определения полностью видимых отрезков. Основная: идея состоит в установлении того факта, что оба конца отрезка лежат между точкой наблюдения и какой-нибудь видимой плоскостью. Т.к.

u = s + td + ag

При a = 0 значение u задает сам отрезок. Далее, если a = 0, при t = 0 и t = 1 получаются концевые точки отрезка. Также известно, что

hj = u *[VT] = pj + qjt+ wja

и заметим, что при t = 0 pj является скалярным произведением концевой точки отрезка и j-й плоскости, ограничивающей тело. Аналогично pj + qj является скалярным произведением другой концевой точки отрезка и j-й плоскости, ограничивающей тело. Наконец, напомним, что j-я плоскость, ограничивающая тело, видима, если wj = 0. Поэтому, если wj £ О и pj £ 0, то один конец отрезка лежит или на видимой плоскости или между видимой плоскостью и точкой наблюдения. Если же pj + qj £ 0, то другой конец отрезка также лежит либо на видимой плоскости, либо между этой плоскостью и точкой наблюдения. Следовательно, отрезок полностью видим, если для любого j

wj £ О и pj £ 0 и pj + qj £ 0.

Эти условия гарантируют, что неравенства hj £ 0 не могут быть выполнены ни при каких a ³ 0 и 0 £ t £ 1. Поэтому никакая часть отрезка не может быть невидимой, т. е. отрезок полностью видим.

Ниже приводится эффективная реализация алгоритма Робертса. Этот алгоритм делится на три этапа. На первом этапе каждое тело анализируется индивидуально с целью удаления нелицевых плоскостей. На втором этапе проверяется экранирование оставшихся в каждом теле ребер всеми другими телами с целью обнаружения их невидимых отрезков. На третьем этапе вычисляются отрезки, которые образуют новые ребра при протыкании телами друг друга. В данном алгоритме предполагается, что тела состоят из плоских полигональных граней, которые в свою очередь состоят из рёбер, а ребра - из отдельных вершин. Все вершины, ребра и грани связаны с конкретным телом.

Удаление нелицевых плоскостей

Для каждого тела в сцене:

Сформировать многоугольники граней и ребра, исходя из списка вершин тела.

Вычислить уравнение плоскости для каждой полигональной грани тела.

Проверить знак уравнения плоскости:

Взять любую точку внутри тела, например усреднив координаты его вершин.

Вычислить скалярное произведение уравнения плоскости и точки внутри тела.

Если это скалярное произведение < О, то изменить знак уравнения этой плоскости.

Сформировать матрицу тела.

Умножить ее слева на матрицу, обратную матрице видового преобразования, включающего перспективу.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпоры бесплатно, налоги и налогообложение.

Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата