Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Xn обозначает Xn-1  X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,  1Zx (x  Z  x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. x (x P (Y)  x Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X  v & v  Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,  1Zx (x  Z v (x  v & v  Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение. x (x  (Y)  v (x  v & v  Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x  Z u (x = )).

Определение. x (x I  u (x = )). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)

 1W( W  Vn & x1…xn ( W

 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn ( Z  φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок  , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u    φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)  x1…xn (u =  & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим  u (u   φ (x, Y1, …, Ym)  φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда   V2 & x1x2( Y  Y). Назовем  обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (v ( Y)). Тогда  u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно,  R(Y) = D().

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

xyu (u  y  v (u  v & v  x)).

Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов множества х является также множеством, т. е.  x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

xyu (u  y  u  x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы,  x (M(P (х))).

Примеры.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспекты статей, изложение с элементами сочинения.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата