Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

x (0  x & u (u  x  u  {u}  x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0  x, и если и  x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0}  x, {0, {0}}  x, {0, {0}, {0, {0}}}  x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п  х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x  x) ,т. е. х (х  Y  х  х). (Такой класс Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х  х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X)  (X  Y  X  X)). Допустим M(Y). Тогда Y  Y  Y  Y, что, в силу тавтологии (A  A) A & &  A, влечет Y  Y  Y  Y. Отсюда по теореме дедукции получаем  M(Y)(Y  Y  Y  Y), а затем, в силу тавтологии (B  (A &  A)) B , получаем и  М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения

X Irr Y означает y (y Y   X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &

& X &X & X X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v

 X    X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &

& Z ≠ 0 y (y  Z & v (v  Z & v ≠ y   X &  

&   X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y  y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

u (u  x  u ≠ 0 & v (v  x & v ≠ u v ∩ u = 0))

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспекты статей, изложение с элементами сочинения.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата