Алгебраическая проблема собственных значений

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение по английскому, конспекты уроков в 1 классе
| Добавил(а) на сайт: Антонина.

n

Y = ( aiXi. i=1

3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. Из подобия матриц A и В следует, что

В = Р-1АР.

Так как

АХ = (Х, то

Р-1АХ = (Р-1Х.
Если принять Х == РY, то

Р-1АРY = (Y, а

ВY == (Y.

Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соотношением

Х = Р Y.

4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадратов всех других элементов.

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определение из системы уравнений

(A - (E) Х == 0, которая имеет ненулевое решение лишь в случае, если det(A - (E)=0. Раскрыв определитель, получим многочлен п-й степени относительно (, корни которого и будут собственными значениями матрицы. Для определения корней можно воспользоваться любым из методов, описанных в гл. 2. К сожалению, в задачах на собственные значения часто встречаются кратные корни. Так как итерационные методы, в этих случаях не гарантируют получение решения, то для определения собственных значений следует пользоваться другими итерационными методами.

Определение наибольшего собственного значения методом итераций

На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы

AХ = (Х.

Процедура начинается с пробного нормированного вектора X(0). Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X(0).. Если вектор X(0) совпадает с вектором X(0), то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения.

Пример 1

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид

|10 |5 |6 | |
|5 |20|4 | * 106 Н/м2 |
|6 |4 |30| |

Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела.

Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений.
Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.