Алгебраическая проблема собственных значений

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение по английскому, конспекты уроков в 1 классе
| Добавил(а) на сайт: Антонина.

ХiT Хj =0 при ij и ХiT Хj =1 при i=j.
Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-(1Х1 Х1T, то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =(iXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi = AХi -(Х1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1 - (1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выражение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение (1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения
0, (2, (3,. . ., (n и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . .
.... Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение (1 было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение (2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив (2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу
A**, полученную с помощью A*, (2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида.
Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне главной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образование нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет достаточно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобразование можно было считать законченным. В случае симметричной матрицы A действительных чисел преобразование выполняется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A1 == Р1АР1T. При этом ортогональная матрица Р1 выбирается так, чтобы в матрице А1 появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А1 с помощью второй преобразующей матрицы Р2, образуют новую матрицу A2. При этом Р2, выбирают так, чтобы в A2 появился еще один нулевой внедиагональный элемент.
Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент аkl матрицы Ат-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует

Pkk = Pll = cos (,

Pkl = - Plk = sin (,

Pii = 1 при i k, l, Pij = 0 при i j.

Матрица Ат будет отличаться от матрицы Am-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент аkl(m) был равен нулю, значение ( выбирается так, чтобы

2 akl(m-1) tg 2 ( = ------------------------- . akk(m-1) – all(m-1)

| | | | | | | k| | | | | | | l| | | | | |
| |1| | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | |1| | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | |1| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | |1| | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | |1| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | |Cos (|.|.|.|.|.|.|sin | | | | |k|
| | | | | | | | | | | | | |( | | | | | |
| | | | | | | |1| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | |1| | | | | | | | | | |
|Pm = | | | | | | | | |1| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |1| | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |1| | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |1| | | | | | |
| | | | | | |- sin| | | | | | |Cos | | | | |l|
| | | | | | |( | | | | | | |( | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | |1| | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |1| | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | |1| | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | |1| |

Значения ( заключены в интервале

( (

- —